[论文解读] Topological equisingularity of function germs with 1-dimensional critical set

Javier Fernández de Bobadilla|ArXiv.org|Mar 21, 2006

Meromorphic and Entire Functions参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了复解析函数芽在1维临界集上的等单性概念，证明此类等单性蕴含拓扑R-等单性。文章表明，常数通用Lê数蕴含临界集上的等单性，从而解决了D. Massey提出的问题，并构造了新的拓扑等单族，其临界集变形非平坦且奇异。

ABSTRACT

We focus on topological equisingularity of families of holomorphic function germs with 1-dimensional critical set. We introduce the notion of equisingularity at the critical set and prove that any family which is equisingular at the critical set is topologically equisingular. We show that if a family of germs with 1-dimensional critical set has constant generic Le numbers then it is equisingular at the critical set, and hence topologically equisingular (answering a question of D. Massey). We use this to modify the definition of singularity stem present in the literature, introducing and characterising topological stems (being this concept closely related with Arnold's series of singularities). We provide another sufficient condition for topological equisingularity for families whose reduced critical set is deformed flatly. Finally we study how the critical set can be deformed in a topologically equisingular family and provide examples of topologically equisingular families whose critical set is a non-flat deformation with singular special fibre and smooth generic fibre.

研究动机与目标

• 解决复解析函数芽在非孤立奇点情形下的拓扑等单性开放问题，特别是当临界集为1维时。
• 解决D. Massey关于具有常数通用Lê数的族的拓扑等单性提出的问题。
• 重新定义并表征拓扑茎，将其与Arnold奇点系列联系起来，并阐明Lê数在等单性中的作用。
• 分析拓扑等单族中临界集的形变行为，特别是当临界集非平坦形变时。
• 构造新的拓扑等单族例子，其中特殊纤维的临界集奇异而一般纤维的临界集光滑，挑战经典预期。

提出的方法

• 引入临界集等单性的概念，通过一族自同胚实现临界集的平凡化并保持横截Milnor数的分层结构。
• 使用Lê数——与坐标系相关的极值不变量——作为检测临界集等单性的关键工具，特别是通用Lê数。
• 应用Milnor纤维化和嵌入链环理论的结果，利用n ≥ 4时常数Milnor数蕴含抽象链环同伦型恒定的事实。
• 采用加权齐次结构和参数化方法（例如，(x,y,z) ↦ (t⁻¹x, t⁻¹y, t⁻¹z)）分析临界集，并验证横截Milnor数的常数性。
• 构造显式函数族（例如，fₜ = (ty − xz)⁹ + (tx³ − y²z)⁴ + (y³ − x⁴)³ + (t³x − z³)¹²）以展示临界集上的等单性及拓扑R-等单性。
• 通过gₜ = fₜ + uᵃ + vᵇ的稳定化处理，确保主等单性定理适用的维数条件，尤其适用于n ≥ 5。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有1维临界集且通用Lê数恒定的复解析函数芽族是否蕴含拓扑R-等单性？
• RQ2 能否在临界集等单性的框架下重新定义并表征拓扑茎，特别是与Arnold奇点系列的关系？
• RQ3 是否可能存在拓扑等单族，其临界集经历非平坦形变，且特殊纤维奇异而一般纤维光滑？
• RQ4 在Milnor数或重数不恒定时，临界集等单性蕴含拓扑等单性的条件是什么？
• RQ5 能否构造非等重数但拓扑等单的族，其临界集结构和横截Milnor数具有指定性质？

主要发现

• 若复解析函数芽族的临界集为1维，且其临界集通过平凡化与横截Milnor数分层结构的保持实现等单性，则该族为拓扑R-等单的。
• 常数通用Lê数蕴含临界集等单性，因而也蕴含拓扑R-等单性，为D. Massey的问题提供了肯定回答。
• 族fₜ = (ty − xz)⁹ + (tx³ − y²z)⁴ + (y³ − x⁴)³ + (t³x − z³)¹²的临界集由(t⁻¹x, t⁻¹y, t⁻¹z)参数化，在t = 0处奇异，而t ≠ 0时光滑，但该族在临界集上仍保持等单性。
• 临界集上除原点外所有点的横截Milnor数为6，原点处为18，但该族仍保持临界集等单性，原因在于低阶项的控制。
• 通过gₜ = fₜ + uᵃ + vᵇ的稳定化处理，保持了临界集等单性，并确保n ≥ 5时的拓扑R-等单性，验证了该框架的稳健性。
• 本文构造了首个已知的两个拓扑R-等价函数的例子，其临界集为1维，其中一个临界集光滑，另一个在原点处奇异，揭示了拓扑等单性中新的形变行为。