[论文解读] Topological exodromy with coefficients

Mauro Porta, Jean-Baptiste Teyssier|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文将外旋同构性推广至局部弱收缩的分层空间，移除了诺特性与升链条件的假设，并将系数推广至稳定或紧生成的 $∞$-范畴。本文建立了函子式的外旋同构性，并构造了超构造层的导出模空间，进而提出了一种新的上同调霍尔代数，推广了 Schiffmann-Vasserot 与 Davison-Mistry 的构造。

ABSTRACT

We improve the exodromy equivalence of MacPherson, Treumann and Lurie in several ways: first, we allow stratified spaces that have locally weakly contractible strata, rather than being locally of singular shape, we remove all noetherianity assumptions and we consider more general coefficients (e.g. compactly assembled or stable presentable $\infty$-categories). Furthermore, our approach shows that the exodromy equivalence is functorial for every morphism of stratified spaces. As an application, we construct, under suitable finiteness assumptions, a higher Artin derived stack of hyperconstructible hypersheaves and prove that every perversity function gives rise to an open substack of perverse hypersheaves. Using the derived structure, we provide the construction of a new cohomological Hall algebra, generalizing the ones of character varieties studied in the past by Schiffmann-Vasserot, Davison and Mistry.

研究动机与目标

• 将外旋同构性从经典局部奇异形状空间推广至局部弱收缩的分层空间。
• 移除分层集合的偏序集上诺特性与升链条件的假设。
• 将外旋同构性的系数推广至包含稳定或紧生成的 $∞$-范畴。
• 为所有分层空间之间的态射提供外旋同构性的函子式表述。
• 构造超构造层的导出模空间，并通过畸变函数将其与 perverse 层联系起来。

提出的方法

• 用超构造层的 $∞$-范畴取代构造层的 $∞$-范畴，以放松奇异形状的假设。
• 使用 $∞$-范畴 $Π_{∞}^{Σ}(X,P)$ 作为外旋对应中函子的定义域。
• 引入外旋同构性的函子式框架，使其适用于所有分层空间之间的态射。
• 利用导出代数几何构造超构造层的导出模空间 ${}^{π}\mathbf{Perv}_{P}(X)$。
• 证明每个畸变函数在模空间中定义了一个 perverse 超层的开子堆。
• 通过模空间的导出结构定义一种新的上同调霍尔代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 外旋同构性能否推广至局部弱收缩分层空间，而无需奇异形状条件？
• RQ2 当从分层集合的偏序集中移除升链条件后，外旋同构性是否仍然成立？
• RQ3 外旋对应能否推广至稳定或紧生成的 $∞$-范畴作为系数？
• RQ4 是否存在一个适用于所有分层空间态射的外旋同构性的函子式表述？
• RQ5 能否构造出超构造层的导出模空间，且其是否自然具备上同调霍尔代数的结构？

主要发现

• 外旋同构性已推广至局部弱收缩分层空间，取代了奇异形状的假设。
• 外旋同构性现在在分层集合 $P$ 上无需任何诺特性或升链条件假设下依然成立。
• 外旋对应的系数已推广至包含所有稳定或紧生成的 $∞$-范畴。
• 提供了外旋同构性逆的显式公式，增强了其函子性。
• 构造了超构造层的导出模空间，且每个畸变函数均诱导出一个 perverse 超层的开子堆。
• 在 perverse 超层的导出模空间上定义了一种新的上同调霍尔代数，推广了 Schiffmann-Vasserot 与 Davison-Mistry 的早期构造。