[论文解读] Topological Field Theory on a Lattice, Discrete Theta-Angles and Confinement

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过在有限交换磁性规范群 Π₂ 中取值的离散2-形式规范场，为4D规范理论的 confinement 相构建了一个晶格拓扑量子场论（TQFT）。它表明，此类理论中的 theta-角是量子化的，并由 Π₂ 上的二次函数分类，推广了连续杨-米尔斯理论中发现的离散 theta-角。关键结果是，当 theta-角非零时，该 TQFT 并非等价于普通规范理论，因为其配分函数依赖于4-流形的示性数，从而将其与标准拓扑规范理论区分开来。

ABSTRACT

We study a topological field theory describing confining phases of gauge theories in four dimensions. It can be formulated on a lattice using a discrete 2-form field talking values in a finite abelian group (the magnetic gauge group). We show that possible theta-angles in such a theory are quantized and labeled by quadratic functions on the magnetic gauge group. When the theta-angles vanish, the theory is dual to an ordinary topological gauge theory, but in general it is not isomorphic to it. We also explain how to couple a lattice Yang-Mills theory to a TQFT of this kind so that the 't Hooft flux is well-defined, and quantized values of the theta-angles are allowed. The quantized theta-angles include the discrete theta-angles recently identified by Aharony, Seiberg and Tachikawa.

研究动机与目标

• 在晶格上构建一个描述4D规范理论 confinement 相的拓扑量子场论（TQFT）。
• 识别并分类此类 TQFT 中允许的 theta-角，表明它们是量子化的，并由磁性规范群 Π₂ 上的二次函数标记。
• 建立具有量子化 theta-角的杨-米尔斯理论的晶格形式，使其与低能 TQFT 匹配，从而解决连续 theta-角在晶格上缺乏对应物的问题。
• 阐明 Aharony、Seiberg 和 Tachikawa 所识别的离散 theta-角的微观起源及其在弦算符谱中的作用。

提出的方法

• 使用取值于有限交换群 Π₂（即磁性规范群）的离散2-形式场 h，构建晶格 TQFT。
• 通过 h 的 Pontryagin 平方定义拓扑作用量，该平方将 H²(K, Π₂) 中的上同调类映射到 H⁴(K, Γ(Π₂))，利用上积的二次提升。
• 证明当 theta-角非零时，配分函数依赖于4-流形的示性数，从而将该理论与标准拓扑规范理论区分开来。
• 在零 theta-角情况下，通过 Pontryagin 对偶群 Π₂* 建立 B-场与规范场之间的对偶性，表明电-磁对偶性仅在 theta-角为零时成立。
• 构建一个与 TQFT 耦合的晶格杨-米尔斯理论，使得 't Hooft 流量被良好定义且量子化，且 theta-角与低能 TQFT 中的一致。
• 使用单纯上链中的 ∪¹ 上积运算一般地定义 Pontryagin 平方，确保在规范变换和上同调类依赖性下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅使用离散2-形式场，在晶格上一致地表述4D规范理论的 confinement 相？
• RQ2 此类晶格 TQFT 中允许的 theta-角的数学分类是什么？它们与磁性规范群 Π₂ 的关系如何？
• RQ3 为何具有非零 theta-角的 TQFT 不等价于普通拓扑规范理论？其配分函数如何依赖于4-流形的拓扑？
• RQ4 Aharony、Seiberg 和 Tachikawa 在连续杨-米尔斯理论中识别的离散 theta-角能否在晶格形式中实现？
• RQ5 为何连续 theta-角缺乏令人满意的晶格对应物？瞬子数在此障碍中扮演什么角色？

主要发现

• 晶格 TQFT 中允许的 theta-角由磁性规范群 Π₂ 上的二次函数分类，拓扑作用量由离散2-形式场 h 的 Pontryagin 平方给出。
• 当 Π₂ = Z_r 且 r 为偶数时，离散 theta-角 q 是模 2r 的整数，作用量为 Stop(h) = 2πiq/r (˜h ∪ ˜h)[T⁴] 模 2r，由于偶数交形式，仅 q mod r 有关。
• 当 Π₂ = Z_r 且 r 为奇数时，离散 theta-角 q 是模 r 的整数，作用量为 Stop(h) = 2πiq/r (˜h ∪ ˜h)[T⁴]，Pontryagin 平方通过 f ∪ f 定义。
• 当 theta-角为零时，TQFT 与以 Π₂* 为规范群的拓扑规范理论对偶；但当 theta-角非零时，由于其依赖于4-流形的示性数，该理论不与任何普通规范理论同构。
• 晶格形式可实现 Aharony、Seiberg 和 Tachikawa 所识别的所有离散 theta-角，但因晶格上无法良好定义瞬子数，故不存在连续 theta-角的晶格对应物。
• 当 theta-角非零时，配分函数权重并非正定，但通过固定上同调类 [h] 可使其为正，从而可通过对上同调类求和实现蒙特卡洛模拟。