[论文解读] Topological Free Entropy Dimensions in Nuclear C$^*$-algebras and in Full Free Products of C$^*$-algebras

Don Hadwin, Qihui Li+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 2008

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了拓扑轨道维数作为C*-代数不变量，以分析Voiculescu的拓扑自由熵维数。证明了在核C*-代数中，该维数至多为1；在具有逼近性质的单位元全自由积C*-代数中，该维数具有可加性。一个关键结果是，$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ 不是一个群，扩展了关于MF代数和Ext群的早期结果。

ABSTRACT

In the paper, we introduce a new concept of topological orbit dimension of $n$-tuples of elements in a unital C$^*$ algebra. Using this concept, we conclude that the Voiculescu's topological free entropy dimension of any family of self-adjoint generators of a nuclear C$^*$ algebra is less than or equal to 1. We also show that the topological free entropy dimension is additive in the full free products of unital C$^*$ algebras. In the appendix, we show that unital full free product of Blackadar and Kirchberg's unital MF algebras is also MF algebra.

研究动机与目标

• 开发一种新不变量——拓扑轨道维数，以研究C*-代数中Voiculescu的拓扑自由熵维数。
• 利用新不变量建立核C*-代数中拓扑自由熵维数的上界。
• 证明具有逼近性质的单位元全自由积C*-代数中，拓扑自由熵维数的可加性。
• 扩展关于MF代数的结果，并将其应用于证明$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ 不是一个群。

提出的方法

• 引入拓扑轨道维数$\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}$ 作为早期概念的改进，证明其为自伴生成元的C*-代数不变量。
• 建立不等式$\delta_{\text{top}}(z_1,\ldots,z_m) \leq \max\{\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}(z_1,\ldots,z_m), 1\}$，将其与Voiculescu的拓扑自由熵维数联系起来。
• 证明$\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}$ 在正交直和下具有次可加性，且在与矩阵代数张量积时非递增。
• 证明$\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)} \leq \mathfrak{KK}^{(2)}$（轨道维数容量），从而实现在核代数中的计算。
• 利用逼近性质和MF代数结构，证明全自由积中拓扑自由熵维数的可加性。
• 将结果应用于证明$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ 不是一个群，基于$C_r^*(F_2)$ 的非拟对角性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在核C*-代数中，有限个自伴生成元的Voiculescu拓扑自由熵维数的值是多少？
• RQ2 在具有逼近性质的单位元全自由积C*-代数中，拓扑自由熵维数是否具有可加性？
• RQ3 MF代数的单位元全自由积是否仍为MF代数？
• RQ4 能否利用拓扑自由熵维数证明$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ 不是一个群？
• RQ5 拓扑轨道维数与轨道维数容量有何关系？这对熵维数意味着什么？

主要发现

• 任何单位元核C*-代数中有限个自伴生成元的拓扑自由熵维数至多为1。
• 拓扑轨道维数$\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}$ 是自伴生成元的C*-代数不变量。
• 在具有逼近性质的C*-代数的单位元全自由积中，拓扑自由熵维数具有可加性。
• Blackadar与Kirchberg的单位元MF代数的全自由积仍是MF代数。
• 若核C*-代数具有逼近性质，则其自伴生成元的拓扑自由熵维数为0。
• 作为推论，$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ 不是一个群，扩展了Haagerup与Thorbjørnsen以及Brown的成果。