[论文解读] Topological full groups of one-sided shifts of finite type

Hiroki Matui|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 21

一句话总结

该论文证明了拓扑全群 [[G]] 及其交换子群 D([[G]]) 是康托尔集上本质上主的、极小的étale群胚 G 的完全不变量，特别是对有限型单边移位成立。证明了 [[G]] 属于 F∞ 型（因此是有限生成的），且当 G 为纯无穷或几乎有限时，D([[G]]) 是单群，从而构造出一类新的、推广了 Higman-Thompson 群的、有限生成的无限单群族。

ABSTRACT

We explore the topological full group [[G]] of an essentially principal etale groupoid G on a Cantor set. When G is minimal, we show that [[G]] (and its certain normal subgroup) is a complete invariant for the isomorphism class of the etale groupoid G. Furthermore, when G is either almost finite or purely infinite, the commutator subgroup D([[G]]) is shown to be simple. The etale groupoid G arising from a one-sided irreducible shift of finite type is a typical example of a purely infinite minimal groupoid. For such G, [[G]] is thought of as a generalization of the Higman-Thompson group. We prove that [[G]] is of type F_\infty, and so in particular it is finitely presented. This gives us a new infinite family of finitely presented infinite simple groups. Also, the abelianization of [[G]] is calculated and described in terms of the homology groups of G.

研究动机与目标

• 建立拓扑全群 [[G]] 及其交换子群 D([[G]]) 是康托尔集上本质上主的、极小的étale群胚 G 的同构类的完全不变量。
• 证明当 G 为几乎有限或纯无穷时，D([[G]]) 是单群，扩展了关于极小 Z-作用的已知结果。
• 分析由有限型单边不可约移位导出的群胚的 [[G]] 的有限性性质，证明 [[G]] 属于 F∞ 型。
• 以群胚的同调群 H₁(G) 和 H₀(G) 表示 [[G]] 的阿贝尔化。
• 证明自由群或有限群自由积的边界作用的 [[G]] 产生新的有限生成无限单群族。

提出的方法

• 使用空间实现定理，证明任何包含 D([[G_i]]) 的 [[G₁]] 和 [[G₂]] 的正规子群之间的群同构必源于单位空间 G₁⁽⁰⁾ 和 G₂⁽⁰⁾ 之间的同胚。
• 应用指标映射 I: [[G]] → H₁(G)] 研究 [[G]] 的阿贝尔化，并证明在纯无穷群胚中该映射是满射。
• 改编 C*-代数理论与拓扑动力系统中的技术，特别是利用与有限型移位相关的 Cuntz-Krieger 代数的结构。
• 计算自由积 P*Q 和自由群 Fₖ 的边界作用导出的群胚的同调群 H₀(G) 和 H₁(G)，以确定 [[G]] 及其商群的结构。
• 运用 F∞ 群理论与同伦有限性性质理论，证明对于有限型移位，[[G]] 属于 F∞ 型。
• 通过从移位动力学与群胚结构导出的生成元与关系，构造 [[G]] 及其子群的表示式。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑全群 [[G]] 及其交换子群 D([[G]]) 是否可作为康托尔集上本质上主的、极小的étale群胚 G 的同构类的完全不变量？
• RQ2 在何种条件下，交换子群 D([[G]]) 是单群？
• RQ3 由有限型单边移位导出的群胚的 [[G]] 具有哪些有限性性质？
• RQ4 [[G]] 的阿贝尔化与群胚的同调群 H₁(G) 和 H₀(G) 有何关系？
• RQ5 自由积 P*Q 或自由群 Fₖ 的边界作用的拓扑全群 [[G]] 是否产生新的有限生成无限单群族？

主要发现

• 对于任意本质上主的、极小的étale群胚 G，其拓扑全群 [[G]] 及其交换子群 D([[G]]) 是完全不变量：[[G₁]] ≅ [[G₂]] 当且仅当 G₁ ≅ G₂ 作为étale群胚。
• 当 G 为纯无穷且极小时，交换子群 D([[G]]) 是单群，且 [[G]] 包含自由积 ℤ₂ * ℤ₃，表明其非阿代尔性。
• 对于任意有限型单边不可约移位，其拓扑全群 [[G]] 属于 F∞ 型，因此是有限生成的，推广了 Higman-Thompson 群 Vₙ,₁。
• [[G]] 的阿贝尔化同构于 H₁(G)，且在纯无穷群胚中，指标映射 I: [[G]] → H₁(G) 是满射。
• 对于 |P|=p, |Q|=q 的自由积 P*Q 的边界作用，有 H₀(G) ≅ ℤₙ₋₁ 且 H₁(G) ≅ 0，其中 n = (p−1)(q−1)，且 [[G]] 同构于 Gₙ,ₚ 或 Gₙ,ₚ。
• 对于自由群 Fₖ 的边界作用，[[G]] 属于 F∞ 型，D([[G]]) 是单群，[[G]]/[[G]]₀ ≅ ℤᵏ，且 [[G]]₀/D([[G]]) ≅ (ℤ₂)ᵏ（当 k 为偶数时），或 (ℤ₂)ᵏ⁺¹（当 k 为奇数时）。