[论文解读] Topological groups of Kac-Moody type, Fuchsian twinnings and their lattices

Bertrand Rémy, Mark Ronan|arXiv (Cornell University)|May 4, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

本论文通过双曲正多边形房顶的右角双曲型Fuchsian对偶建筑，构建了非线性Kac-Moody型拓扑群，证明此类群可在特征0下具有线性格，在正特征p下仅能线性化于正特征p。关键贡献在于存在不源于Kac-Moody群的Moufang对偶建筑，从而产生奇异格，并挑战了与局部域上半单群的类比。

ABSTRACT

This paper deals with a class of totally disconnected groups acting on buildings, among which are certain Kac-Moody groups. The apartments of our buildings are hyperbolic planes tiled by right-angled polygons. We discuss linearity properties for the groups, as well as an analogy with semisimple groups over local fields of positive characteristic. Looking for counter-examples to this analogy leads to the construction of Moufang twinnings "with several ground fields".

研究动机与目标

• 研究Kac-Moody型拓扑群与正特征局部域上半单群之间的类比关系。
• 构造不源于Kac-Moody群的对根数据，从而产生非2-球形的奇异对偶建筑。
• 证明此类建筑中存在在特征0下线性化、仅在正特征p下可线性化的均匀格。
• 确立此类群具有几乎为pro-p的极大紧致子群，并表现出混合线性行为。

提出的方法

• 在双曲平面上构造以右角r边形（r ≥ 5）为房顶的对偶建筑，根据Bourdon的分类实现Fuchsian建筑。
• 利用以正r边形R为指标的有限群（抛物子群）的归纳系统，定义基本群Γr,1+q作为格。
• 应用Tits关于群复形基本群的定理，证明Γr,1+q在房间上作用单纯传递，从而证明其均匀性。
• 通过归纳系统同态将基本群Γr,1+q嵌入Kac-Moody群Λ的像中，利用PGL2(Fq)和(Fq×)r的子群。
• 应用Bourdon的结果，当sin(π/r) < 1/√(q+1)时，将Γr,1+q嵌入实双曲空间H2q中，作为凸余紧致等距变换离散群。
• 分析抛物子群的Levi因子结构及中心Z(Λ) ≅ (Fq×)^r，以确定Λ在作用同态φ下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kac-Moody型拓扑群在多大程度上类似于正特征局部域上的半单群？
• RQ2 能否构造不源于Kac-Moody群的Moufang对偶建筑，特别是在非2-球形情形下？
• RQ3 此类奇异群是否具有混合线性性质的格——在特征0下线性化，仅在正特征p下可线性化？
• RQ4 r与q满足何种条件时，基本群Γr,1+q可嵌入实双曲空间H2q中作为凸余紧致子群？
• RQ5 拓扑Kac-Moody群的最大紧致子群在pro-p结构方面表现如何？

主要发现

• 群Γr,1+q是右角Fuchsian建筑Ir,1+q中的均匀格，在房间上作用单纯传递。
• 当r为偶数且sin(π/r) < 1/√(q+1)时，Γr,1+q可作为实双曲空间H2q中凸余紧致等距变换离散群嵌入。
• 由Λ导出的拓扑Kac-Moody群G具有几乎为pro-p的极大紧致子群，因其为建筑中顶点固定子群。
• Γr,1+q同构于以正r边形为指标的群复形的基本群，其边群与顶点群分别为Z/(q+1)与Z/(q+1)×Z/(q+1)。
• 像φ(Λ)包含同构于PGL2(Fq) × (Fq×)^r−1与(PGL2(Fq) × PGL2(Fq)) × (Fq×)^r−2的子群，反映了Levi因子结构。
• Γr,1+q通过归纳系统同态嵌入φ(Λ)，确认其为拓扑Kac-Moody群G的子群。