[论文解读] Topological interactions in broken gauge theories

Mark de Wild Propitius|ArXiv.org|Nov 27, 1995

Topological and Geometric Data Analysis被引用 113

一句话总结

本文利用代数拓扑，特别是群上同调与谱序列，研究了规范对称性自发破缺的规范理论中的拓扑相互作用，以分类任意任何 anyonic 统计与拓扑序。研究证明，对于 SU(2) 的任意有限子群 H，上同调群 H^3(H) 为零，且 H^4(H) ≅ ℤ_|H|，从而确立了与群阶数相关的拓扑不变量，并实现了对 2+1D 系统中任意任何 braiding 与通量转变的分类。

ABSTRACT

This thesis deals with planar gauge theories in which some gauge group G is spontaneously broken to a finite subgroup H. The spectrum consists of magnetic vortices, global H charges and dyonic combinations exhibiting topological Aharonov-Bohm interactions. Among other things, we review the Hopf algebra D(H) related to this residual discrete H gauge theory, which provides an unified description of the spin, braid and fusion properties of the aforementioned particles. The implications of adding a Chern-Simons (CS) term to these models are also addressed. We recall that the CS actions for a compact gauge group G are classified by the cohomology group H^4(BG,Z). For finite groups H this classification boils down to the cohomology group H^3(H,U(1)). Thus the different CS actions for a finite group H are given by the inequivalent 3-cocycles of H. It is argued that adding a CS action for the broken gauge group G leads to additional topological interactions for the vortices governed by a 3-cocycle for the residual finite gauge group H determined by a natural homomorphism from H^4(BG,Z) to H^3(H,U(1)). Accordingly, the related Hopf algebra D(H) is deformed into a quasi-Hopf algebra. These general considerations are illustrated by CS theories in which the direct product of some U(1) gauge groups is broken to a finite subgroup H. It turns out that not all conceivable 3-cocycles for finite abelian gauge groups H can be obtained in this way. Those that are not reached are the most interesting. A Z_2 x Z_2 x Z_2 CS theory given by such a 3-cocycle, for instance, is dual to an ordinary gauge theory with nonabelian gauge group the dihedral group of order eight. Finally, the CS theories with nonabelian finite gauge group a dihedral or double dihedral group are also discussed in full detail.

研究动机与目标

• 理解规范对称性自发破缺的离散规范理论中的拓扑序与任意任何统计。
• 对非阿贝尔离散规范理论中的稳定磁涡旋及其编织性质进行分类。
• 利用谱序列计算有限群 H ⊂ SU(2) 的上同调，并阐明其在陈-西蒙斯理论中的物理意义。
• 将规范理论中的拓扑不变量与量子双代数及扭规范理论的结构联系起来。
• 阐明通量转变与非阿贝尔编织统计在对称性破缺的拓扑场论中的作用。

提出的方法

• 利用 Leray 的谱序列计算 SU(2) 的有限子群 H 的群上同调 H^n(BH) ≅ H^n(H)。
• 应用谱序列 {E_r, d_r}，其中 E_2^{p,q} ≅ H^p(BSU(2), H^q(SU(2)/H))，并收敛于 H^n(BH)。
• 利用已知的上同调 H^*(BSU(2)) ≅ ℤ[e]，其中 e 的次数为 4，以约束非零项。
• 利用投影 π: SU(2) → SU(2)/H 诱导同态 H^3(SU(2)/H) → H^3(SU(2)) ≅ ℤ，该同态为乘以 |H| 的映射。
• 将 H^3(H) 计算为 d_4: H^3(SU(2)/H) → H^4(BSU(2)) ≅ ℤ 的核，H^4(H) 计算为该同态的余核。
• 通过覆盖映射 π 的次数，建立 H^3(H) ≅ 0 与 H^4(H) ≅ ℤ_|H|，从而将群阶数与拓扑不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 SU(2) 的有限子群 H，其上同调 H^n(H) 的结构如何？它与拓扑场论有何关联？
• RQ2 谱序列如何在离散规范理论背景下实现 H^3(H) 与 H^4(H) 的计算？
• RQ3 H^4(H) ≅ ℤ_|H| 的物理意义是什么？它在拓扑序与任意任何统计分类中的作用为何？
• RQ4 投影 π: SU(2) → SU(2)/H 如何在上同调上诱导同态？其核与余核为何？
• RQ5 通用欧拉类 e ∈ H^4(BSU(2)) 在确定 H 的拓扑不变量中起什么作用？

主要发现

• 对 SU(2) 的任意有限子群 H，有 H^3(H) ≅ 0，表明群上同调中不存在非平凡的 3-上循环。
• H^4(H) ≅ ℤ_|H|，表明第四上同调群同构于阶为 |H| 的循环群，即有限子群的阶。
• 谱序列在 E_5 处稳定，且当 p 为 4 的倍数且 q = 0 或 3 时，有 E_∞^{p,q} ≅ E_5^{p,q}，从而导出最终的上同调群。
• 同态 d_4: H^3(SU(2)/H) → H^4(BSU(2)) 同构于乘以 |H| 的映射，该映射决定了余核为 ℤ_|H|。
• 上同调 H^3(SU(2)/H) ≅ ℤ 由基本类生成，其到 H^3(SU(2)) ≅ ℤ 的诱导映射为乘以 |H|。
• 结果确认，离散规范理论的拓扑不变量与 SU(2) 中有限群 H ⊂ 的阶数直接相关。