[论文解读] Topological Invariant for Bosonic Bogoliubov-de Gennes Systems with Disorder

Yutaka Akagi|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 95被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于非交换几何的拓扑不变量，用于无序的玻色子 Bogoliubov-de Gennes 系统，该系统由于玻色子统计而本质上是非厄米的。该方法通过投影差分算子 A 定义拓扑指数，表现出对无序的鲁棒性，并在洁净极限下与陈类完全一致，其中在自旋霍尔相中 nCh = 1，在平凡局域相中 nCh = 0。

ABSTRACT

Using the method of noncommutative geometry, we define a topological invariant in disordered bosonic Bogoliubov-de Gennes systems, which possess a unique mathematical property---non-Hermiticity. To demonstrate the validity of the definition, we investigate a disordered artificial spin ice model in two dimensions numerically. In the clean limit, we clarify that the topological index perfectly coincides with the Chern number. We also show that the topological index is robust against disorder. The formula provides the topological index $n_{ m Ch}=1$ in the magnon Hall regime and $n_{ m Ch}=0$ in a trivial localized one. We also show by example that our method can be extended to other symmetry classes. Our results pave the way for further studies on topological bosonic systems with disorder.

研究动机与目标

• 为由于玻色子统计而本质上是非厄米的无序玻色子 Bogoliubov-de Gennes 系统，定义一个数学上严格的拓扑不变量。
• 展示该拓扑指数在自旋霍尔系统中对无序的鲁棒性。
• 建立一种在无序拓扑玻色子系统中计算拓扑不变量的数值高效方法。
• 将非交换指标理论的应用范围扩展至费米子模型之外的玻色子系统。
• 通过无序的人工自旋冰模型验证该方法，显示在洁净极限下与传统陈类的一致性。

提出的方法

• 使用非交换几何通过算子 A = PB − D̃†aPB D̃a 定义拓扑不变量，其中 PB 是费米投影，D̃a 是狄拉克算子。
• 将拓扑指数定义为 nCh = dim ker[A−1] − dim ker[A+1]，利用有效哈密顿量 ΣzHBdG 的非厄米结构。
• 将该方法应用于具有最近邻和次近邻偶极耦合的二维人工自旋冰模型，通过随机 J′ 参数引入无序。
• 使用围线积分定义费米投影 PB = 1/(2πi) ∫C (z−ΣzHBdG)⁻¹ dz，包围低于虚构费米能 EB 的本征值。
• 通过 Σz 对 ΣzHBdG 进行伪酉对角化，以保持玻色子对易关系，其中 Σz 起关键作用。
• 通过示例应用展示了该方法向其他对称类的扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有内在非厄米性的无序玻色子 Bogoliubov-de Gennes 系统严格定义一个拓扑不变量？
• RQ2 所提出的拓扑指数是否如拓扑保护预期的那样对无序保持鲁棒？
• RQ3 在自旋霍尔系统的洁净极限下，计算得到的指数与传统陈类相比如何？
• RQ4 非交换几何方法能否推广到本文研究的以外的其他对称类？
• RQ5 在具有自旋霍尔效应的无序人工自旋冰模型中，拓扑指数的数值行为如何？

主要发现

• 在自旋霍尔区，拓扑指数 nCh = 1；在平凡局域相中，nCh = 0，正确识别了拓扑相。
• 在洁净极限下，非交换拓扑指数与传统陈类完全一致，证实了自洽性。
• 该拓扑指数对无序保持鲁棒，即使在强无序下 nCh = 1 依然保持不变。
• 该方法在数值上高效，并为在无序玻色子系统中直接计算拓扑不变量提供了途径。
• 算子 A 满足某种超对称结构，即 AB + BA = 0 且 A² + B² = 1，确保了谱对称性和指数稳定性。
• 该方法可扩展至其他对称类，如文中示例应用所示。