[论文解读] Topological Landau Lattice

Y. X. Zhao, Yong‐Heng Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用 4

一句话总结

本文提出了‘拓扑朗道晶格’——一种将d维拓扑外尔费米子在磁场下的朗道能级映射为(d−1)维晶格模型的理论框架。结果表明，零能朗道能级继承了该晶格边界态的拓扑保护特性，从而可通过实空间拓扑不变量实现对拓扑序的鲁棒探测，该方法在二维狄拉克费米子和三维外尔费米子系统中得到验证。

ABSTRACT

The concept of topological fermions, including Weyl and Dirac fermions, stems from the quantum Hall state induced by a magnetic field, but the definitions and classifications of topological fermions are formulated without using magnetic field. It is unclear whether and how the topological information of topological fermions can be probed once their eigen spectrum is completely rebuilt by a strong magnetic field. In this work, we provide an answer via mapping Landau levels (bands) of topological fermions in $d$ dimensions to the spectrum of a $(d-1)$-dimensional lattice model. The resultant "Landau lattice" may correspond to a topological insulator, and its topological property can be determined by real-space topological invariants. Accordingly, each zero-energy Landau level (band) inherits the topological stability from the corresponding topological boundary state of the Landau lattice. The theory is demonstrated in detail by transforming 2D Dirac fermions under magnetic fields to the Su-Schrieffer-Heeger models in class AIII, and 3D Weyl fermions to the Chern insulators in class A.

研究动机与目标

• 建立拓扑外尔费米子的朗道能级与低一维晶格模型之间的对应关系。
• 证明零能朗道能级因朗道晶格体态拓扑不变量的存在而具有拓扑保护特性。
• 为探测朗道能级中隐藏的拓扑序提供一种基于实空间的拓扑不变量框架，且不依赖于平移对称性。
• 表明低朗道能级的拓扑稳定性源于高指数绝缘体态的体态拓扑不变量，对弱无序和微扰具有鲁棒性。

提出的方法

• 通过朗道能级量化，将d维拓扑外尔费米子在磁场中的系统映射为(d−1)维朗道晶格。
• 利用产生/湮灭算符与非均匀晶格点构造朗道晶格哈密顿量，保持其拓扑结构。
• 使用实空间拓扑不变量（如Kitaev指标、Prodan-Schulz-Baldes不变量）表征晶格的体态拓扑。
• 证明朗道晶格的螺旋边缘模式对应于原始系统中的零能朗道能级。
• 对扩展的晶格模型应用动量空间陈数计算，验证其拓扑分类。
• 通过连续形变恢复晶格模型中的平移对称性，从而为三维外尔费米子系统提供标准拓扑分类（如陈数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当磁场完全重构了拓扑外尔费米子的能谱时，其朗道能级的拓扑性质是否仍可探测？
• RQ2 在缺乏平移对称性的情况下，如何定义并计算朗道能级的拓扑不变量？
• RQ3 在强能隙系统中，零能朗道能级的拓扑保护源于何处？
• RQ4 在由拓扑外尔费米子导出的朗道晶格中，体-边对应关系如何体现？
• RQ5 能否通过低维晶格模型捕捉二维狄拉克费米子和三维外尔费米子中朗道能带的拓扑性质？

主要发现

• 二维狄拉克费米子中的零能朗道能级具有拓扑保护性，对应于AIII类中一维Su-Schrieffer-Heeger模型的边界态。
• 三维外尔费米子的朗道晶格映射为A类中的陈数为1的陈绝缘体，对应于由kz参数化的螺旋边缘能带。
• 低朗道能级的拓扑保护源于朗道晶格中高指数能隙体态的体态拓扑不变量。
• 朗道晶格模型允许通过实空间方法计算拓扑不变量，即使在缺乏平移对称性的情况下亦可实现。
• 三维外尔系统中的螺旋朗道能带对弱无序和微扰具有鲁棒性，保持其拓扑特性。
• 对于具有多个外尔点的外尔半金属，朗道能带形成类似托莫加-卢蒂格液体的结构，具有由kz参数化的无能隙模式，反映了原始费米子的拓扑性质。