[论文解读] Topological modular forms and the absence of all heterotic global anomalies

Yuji Tachikawa, Mayuko Yamashita|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过证明从拓扑模形式（TMF）到弦 bordism 的 Anderson 对偶的自然变换消失，确立了所有杂色弦理论全局异常的缺失，借助 Segal-Stolz-Teichner 猜想以及 TMF^21(pt) = 0 的消失性。该结果通过高级 bordism 与上同调理论，确认了杂色弦理论在全局对称性异常下的自洽性。

ABSTRACT

We reformulate the question of the absence of global anomalies of heterotic string theory mathematically in terms of a certain natural transformation $\mathrm{TMF}^\bullet o (I_{\mathbb{Z}}Ω^ ext{string})^{\bullet-20}$, from topological modular forms to the Anderson dual of string bordism groups, using the Segal-Stolz-Teichner conjecture. We will show that this natural transformation vanishes, implying that heterotic global anomalies are always absent. The fact that $\mathrm{TMF}^{21}(\mathrm{pt})=0$ plays an important role in the process. Along the way, we also discuss how the twists of $\mathrm{TMF}$ can be described under the Segal-Stolz-Teichner conjecture, by using the result of Freed and Hopkins concerning anomalies of quantum field theories. The paper contains separate introductions for mathematicians and for string theorists, in the hope of making the content more accessible to a larger audience. The sections are also demarcated cleanly into mathematically rigorous parts and those which are not.

研究动机与目标

• 通过拓扑模形式（TMF）与 Segal-Stolz-Teichner 猜想，对杂色弦理论中全局异常缺失的数学表述进行重新形式化。
• 建立从 TMF^• 到弦 bordism 群的 Anderson 对偶 (I_Z Ω^string)^•−20 的自然变换，作为异常分类器。
• 证明该变换消失，从而证明杂色弦理论中所有全局异常的缺失。
• 阐明 TMF^21(pt) = 0 在异常映射消失中的作用，提供关键的拓扑障碍。
• 在 Segal-Stolz-Teichner 猜想下，利用 Freed 与 Hopkins 关于量子场论异常的研究成果，描述 TMF 的扭变。

提出的方法

• 将 d 维量子场论的异常形式化为 (d+1) 维可逆 QFT，由 (I_Z Ω^B)^d+2(pt) 分类，其中 B 为切结构。
• 应用 Segal-Stolz-Teichner 猜想，将 TMF^• 识别为分类具有弦结构的扩展 2 维 SCFT 的上同调理论。
• 构造从 TMF^• → (I_Z Ω^string)^•−20 的自然变换，作为杂色理论的异常映射。
• 利用 TMF^21(pt) = 0 的事实，证明异常映射消失，从而表明无全局异常。
• 通过可逆相位的分类及其与 bordism 群和 Anderson 对偶的关系，分析 TMF 的扭变。
• 采用 Atiyah-Hirzebruch 族谱序列与相对自旋 bordism 中的长正合列，计算相关 bordism 群并验证同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从拓扑模形式到弦 bordism 的 Anderson 对偶的自然变换是否消失，从而意味着杂色弦理论中全局异常的缺失？
• RQ2 Segal-Stolz-Teichner 猜想如何将 TMF 与具有弦结构的 2 维量子场论的分类联系起来？
• RQ3 TMF^21(pt) = 0 在异常映射消失中起什么作用？
• RQ4 在 Segal-Stolz-Teichner 猜想下，如何用 bordism 与异常理论描述 TMF 的扭变？
• RQ5 能否通过 bordism 的 Anderson 对偶，从微扰异常推导出 6 维 SU(2) 规范理论的全局异常？

主要发现

• 自然变换 TMF^• → (I_Z Ω^string)^•−20 完全消失，证明所有杂色弦理论全局异常均不存在。
• TMF^21(pt) = 0 的消失是迫使异常映射消失的关键拓扑输入。
• 具有 SU(2) 规范群的 6 维杂色理论的异常由 (I_Z Ω^spin)^6(BSU(2)) ≃ ℤ/2ℤ 分类，对应于 Witten 异常。
• 从 (I_Z Ω^spin)^6(BSU(3)) 到 (I_Z Ω^spin)^6(BSU(2)) 的拉回映射将生成元映射为生成元，确认了在相对 bordism 群中异常的非平凡性。
• 对于 SU(2) → SU(3) 的相对自旋 bordism，长正合列在度数 6 处为 0 → ℤ → ℤ → ℤ/2ℤ → 0，与 bordism 正合列同构。
• 结果表明，杂色理论中的全局异常不受阻碍，因为异常类位于一个在相关结构下拉回后消失的群中。