[论文解读] Topological Modular Forms of Level 3

Mark Mahowald, Charles Rezk|ArXiv.org|Dec 10, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过与椭圆曲线上的3级结构相关的“建筑复形”联系的同伦谱构造，计算了在素数2处的3级拓扑模形式谱TMF(Γ₀(3))的同伦群。它建立了涉及K(2)-局部球面的纤维序列，并提供了与MString和ER(2)相关的TMF(Γ₀(3))的连通模型，明确计算了相关A(2)-模的Adams谱序列以及Q(3)的同伦群。

ABSTRACT

We describe and compute the homotopy of spectra of topological modular forms of level 3. We give some computations related to the "building complex" associated to level 3 structures at the prime 2. Finally, we note the existence of a number of connective models of the spectrum TMF(Gamma_0(3)).

研究动机与目标

• 计算在素数2处的3级拓扑模形式谱TMF(Γ₀(3))的同伦群。
• 理解由椭圆曲线上的3级结构相关的“建筑复形”实现的同伦谱Q(3)的同伦性质。
• 将TMF(Γ₀(3))与其它分层谱联系起来，包括MString中的连通模型和实Johnson-Wilson谱ER(2)。
• 为Behrens关于K(2)-局部纤维序列的猜想提供证据，该序列涉及Q(3)的对偶与K(2)-局部球面。
• 分析Q(3)的同伦群所导出的A(2)-模的Adams谱序列，并探讨其与TMF(Γ₀(3))同伦群的关系。

提出的方法

• 从椭圆曲线上3级结构相关的“建筑复形”出发，利用广义椭圆曲线模堆栈的étale覆盖构造同伦谱Q(3)。
• 应用Goerss-Hopkins-Miller定理，在紧化模堆栈Mbar上定义一个E∞-层环谱O_tmf，使得TMF(Γ₀(3))为其整体截面。
• 使用谱序列E2 = H^s(N, f^*ω^⊗k) ⇒ π_{2k−s}O_tmf(f)（其中f: N → Mbar为étale映射）来计算同伦群。
• 分析模形式与它们在TMF(Γ₀(3))上的提升之间的映射δ = q* − f*，通过模2的形式幂级数计算其在Δ和c4上的作用。
• 应用A(2)-模结构的Adams谱序列，特别计算了如A(2){a44,a49}/(Sq1,Sq5,Sq7,Sq4)等模的Ext群，并将其与bo-Brown-Gitler谱联系起来。
• 利用K(2)-局部同伦理论中的识别原理，建立涉及TMF、TMF(Γ₀(3))和bo-谱的楔和的纤维序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在素数2处，TMF(Γ₀(3))的同伦群是什么？
• RQ2 在3级结构的背景下，映射δ = q* − f*如何作用于Δ和c4等模形式？
• RQ3 同伦谱Q(3)的结构是什么？它与K(2)-局部球面有何关系？
• RQ4 TMF(Γ₀(3))的连通模型在MString和ER(2)的背景下如何出现？
• RQ5 与Q(3)相关的A(2)-模的Adams谱序列能否显式计算？它揭示了关于TMF(Γ₀(3))同伦群的什么信息？

主要发现

• TMF(Γ₀(3))的同伦群被完全计算，π_*TMF(Γ₀(3))同构于系数在Z[1/6]中的3级模形式环，且该谱是2-完备的。
• δ(Δ^{2^r(2k+1)}) ≡ a₁^{3·2^{r+1}}a₃^{2^{r+1}(4k+1)} mod 2，表明q*与f*之间的差异恰好提升了2-adic展开中的第一个非平凡项。
• A(2)-模M = A(2){a44,a49}/(Sq1,Sq5,Sq7,Sq4)的Adams谱序列无微分，其Ext群通过一个涉及M₁和M₂的短正合序列计算，且M₂嵌入一个已知的正合序列中。
• 在K(2)-局部范畴中，存在纤维序列Σ³²TMF → (Σ⁸bo₁ ∪ Σ¹⁶bo₂) ∧ TMF → TMF(Γ₀(3))，将TMF(Γ₀(3))与TMF及连通谱联系起来。
• 谱TMF(Γ₀(3))允许自然出现在MString谱中的连通模型，其同伦群可通过bo-Brown-Gitler谱的映射检测。
• Q(3)的同伦群与映射TMF(Γ₀(3)) → bo ∨ Σ⁸bo的纤维的第11个同伦骨架一致，且该纤维通过H*(bo)⊗2/Σ₂的A(2)-模结构被检测。