[论文解读] (Topological) modular forms with level structures: decompositions and duality

Lennart Meier|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文建立了椭圆曲线模堆叠上带水平结构的向量丛的加法分解，导致在不整除水平结构的素数 l 处，模形式环与拓扑模形式（tmf, Tmf）的显式分裂。关键结果是：当 n ≥ 4 且满足温和的上同调条件时，前推层 (fₙ)₆𝒪 按素数 l 的不同，分裂为标准丛 ω^⊗m、ℰ₂ 或 ℰ₃ 的张量积，从而实现了对这些对象的完整代数与拓扑理解。

ABSTRACT

The present article studies decompositions of vector bundles on the moduli stack of elliptic curves that are pushforwards of vector bundles on moduli of elliptic curves with level structure. These imply decomposition results for rings of modular forms and also for topological modular forms. We give explicit formulas for these decompositions and also apply them to equivariant topological modular forms. Moreover, we study the dualizing sheaf on $\overline{\mathcal{M}}_1(n)$ and characterize the numbers $n$ such that $Tmf_1(n)$ is Anderson self-dual.

研究动机与目标

• 理解带水平结构的模形式环的加法结构，特别是在传统乘法方法失效时。
• 将 ℚ 上已知的模形式分裂推广到一般基环 R，包括 ℤ_(l) 和特征为 l 的域。
• 将这些代数分解应用于稳定同伦论，特别是带水平结构的拓扑模形式（tmf, Tmf）。
• 刻画 Tmf₁(n) 何时为 Anderson 自对偶，将数论与拓扑模形式中的对偶性联系起来。
• 计算 ℰₙ 分解为标准丛时每种权 m 的重数，揭示隐藏对称性。

提出的方法

• 使用投影 fₙ: ℳ̄₁(n) → ℳ̄_ell 拉回结构层，并研究其在椭圆曲线模堆叠上的前推层 (fₙ)₆𝒪。
• 对 H¹(ℳ̄₁(n)_(l); ω) 施加上同调条件，以确保前推层 ℰₙ 分解为 ω^⊗m、ℰ₂ 或 ℰ₃ 的张量积。
• 利用下降谱序列将代数分解提升至拓扑设定，证明 Tmf₁(n)_(l) 作为 Tmf_(l)-模的分裂。
• 通过模形式空间的维数计算分解重数，得出每种标准丛副本数的显式公式。
• 分析 ℳ̄₁(n) 上的对偶层，以分类满足 ω^⊗k ≅ ω_dual 的 n，从而实现对称分解。
• 利用 ℰₙ 在满足给定扭结条件时，对 l > 3 分裂为 ω^⊗m，对 l = 3 分裂为 ℰ₂ ⊗ ω^⊗m，对 l = 2 分裂为 ℰ₃ ⊗ ω^⊗m 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些素数 l 和水平结构 n，前推层 (fₙ)₆𝒪 在 ℳ̄_ell 上分解为标准丛 ω^⊗m、ℰ₂ ⊗ ω^⊗m 或 ℰ₃ ⊗ ω^⊗m？
• RQ2 在 (fₙ)₆𝒪 的分解中，ω^⊗m 的重数是多少？该重数在何时表现出对称性？
• RQ3 何时拓扑模形式谱 Tmf₁(n) 为 Anderson 自对偶？这与 ℳ̄₁(n) 的几何结构有何关联？
• RQ4 分解公式在 l-完备化下如何行为？在非紧化情形下，H¹ 条件起什么作用？
• RQ5 哪些 n 满足 ℳ̄₁(n) 的对偶层同构于 ω 的幂？这对分解意味着什么？

主要发现

• 当 n ≥ 4 且满足 H¹-扭结条件时，(fₙ)₆𝒪 分解为：当 l > 3 时为 ω^⊗m，当 l = 3 时为 ℰ₂ ⊗ ω^⊗m，当 l = 2 时为 ℰ₃ ⊗ ω^⊗m。
• 当 l = 0 时，分解既可表示为 ℰ₂ ⊗ ω^⊗m 也可表示为 ℰ₃ ⊗ ω^⊗m，表明分解类型之间存在对偶性。
• ω^⊗m 在分解中的重数可由模形式空间的维数计算得出，显式公式见第 5.1 节。
• 对称分解恰好发生在 ℳ̄₁(n) 的对偶层同构于 ω 的幂时，这在 n ≤ 8（亏格 0）、n = 11, 14, 15（亏格 1）以及 n = 23（亏格 12）时成立。
• 当 l = 2 或 3 且 n ≥ 4 时，在非紧化情形下 ω 的所有幂均以相等重数出现，表明存在隐藏对称性。
• 当 H¹(ℳ̄₁(n)_(l); ω) 无 l-扭结时，Tmf₁(n)_(l) 作为 Tmf_(l)-模分裂，将代数分裂推广至拓扑设定。