[论文解读] Topological monoids of almost monotone injective co-finite partial selfmaps of positive integers

Ivan Chuchman, Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

semigroups and automata theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文研究了半群 $\omega_{\infty}^\Rsh\!\!\nearrow(\mathbb{N})$ 的拓扑与代数结构——即在正整数上几乎单调、单射、余有限的部分自映射的集合。研究结果表明，该半群是双单纯（bisimple）的，所有非平凡的群同态均为同构或群同态，且任何使该半群成为拟拓扑半群的贝尔拓扑必为离散拓扑。此外，本文刻画了拓扑半群中闭包的性质，并构造了该结构上的非离散 Hausdorff 半群拓扑。

ABSTRACT

In this paper we study the semigroup $I_\infty^\dnearrow(N)$ of partial co-finite almost monotone bijective transformations of the set of positive integers $\mathbb{N}$. We show that the semigroup $I_\infty^\dnearrow(N)$ has algebraic properties similar to the bicyclic semigroup: it is bisimple and all of its non-trivial group homomorphisms are either isomorphisms or group homomorphisms. Also we prove that every Baire topology $τ$ on $I_\infty^\dnearrow(N)$ such that $(I_\infty^\dnearrow(N),τ)$ is a semitopological semigroup is discrete, describe the closure of $(I_\infty^\dnearrow(N),τ)$ in a topological semigroup and construct non-discrete Hausdorff semigroup topologies on $I_\infty^\dnearrow(N)$.

研究动机与目标

• 分析半群 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 在 $\mathbb{N}$ 上的几乎单调、单射、余有限部分自映射的代数与拓扑性质。
• 确定在何种条件下，$\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上的贝尔拓扑可使其成为拟拓扑半群。
• 刻画 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 在拓扑半群中的闭包性质。
• 在 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上构造非离散 Hausdorff 半群拓扑。

提出的方法

• 作者将 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 定义为在 $\mathbb{N}$ 上的单射、余有限部分映射的集合，且这些映射几乎单调，即在有限集外单调。
• 他们利用格林关系（$\mathscr{R}, \mathscr{L}, \mathscr{D}, \mathscr{H}$）分析其代数结构，证明该半群是双单纯（bisimple）的。
• 通过涉及在稠密离散子半群上的拓扑论证及半群运算的连续性，证明任何使 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 成为拟拓扑半群的贝尔拓扑必为离散拓扑。
• 他们证明，对任意 $c \in \mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$，集合 $D_c(A) = \{(x,y) \mid x\cdot y = c\}$ 在 $S \times S$ 中既是开集也是闭集，利用了离散性与理想性质。
• 作者运用伪紧性论证及逆半群的性质，证明若 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 是某拓扑半群 $S$ 中的稠密离散子半群，则 $S \times S$ 不可能是伪紧的。
• 他们通过将 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上的离散拓扑扩展到更大的半群结构，构造了非离散 Hausdorff 半群拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑下，$\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 是拟拓扑半群？
• RQ2 使 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 成为拟拓扑半群的贝尔拓扑的必要条件是什么？
• RQ3 在更大的拓扑半群中，$\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 的闭包行为如何？
• RQ4 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上能否构造非离散 Hausdorff 半群拓扑？
• RQ5 当 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 嵌入为拓扑半群中的稠密离散子半群时，会产生哪些拓扑障碍？

主要发现

• 半群 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 是双单纯（bisimple）的，意味着其所有元素彼此 $\mathscr{D}$-等价。
• 从 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 到另一群的所有非平凡群同态，要么是同构，要么是群同态。
• 任何使 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 成为拟拓扑半群的贝尔拓扑 $\tau$ 必为离散拓扑。
• $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 在拓扑半群 $S$ 中的闭包是 $S$ 的闭子半群。
• 若拓扑半群 $S$ 包含 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 作为稠密离散子半群，则 $S \times S$ 不可能是伪紧的。
• 在 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上存在非离散 Hausdorff 半群拓扑，表明离散性并非半群拓扑的必要条件。