[论文解读] Topological-numerical analysis of global dynamics in the discrete-time two-gene Andrecut-Kauffman model

Dorian Falęcki, Mikołaj Rosman+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2026

Gene Regulatory Network Analysis被引用 0

一句话总结

该论文将严格的拓扑方法（Conley 指数、 Morse 分解）与数值仿真相结合，用于对离散时间两基因 Andrecut–Kauffman 模型的全局动力学进行分类，揭示不变量集、双稳态及在参数区间内的混沌行为。

ABSTRACT

We conduct a topological-numerical analysis of global dynamics in a discrete-time two-gene Andrecut-Kauffman model. This model describes gene expression regulation through nonlinear interactions. We use rigorous numerical methods to construct Morse decomposition of the system across a wide range of parameters. We obtain qualitative results by effectively computing the Conley indices of the constructed isolating neighborhoods that form the Morse decomposition. We introduce new symbols to convey the information provided by the Conley index in an easy to understand schematic way. We additionally conduct numerical simulations aimed at confirming the presence of complex dynamical phenomena, including multistability and the existence of chaotic attractors. The results demonstrate the usefulness of topological methods in understanding the global structure of dynamics in a gene regulatory model and highlight the richness of dynamics that can be observed in such a system when parameter values change.

研究动机与目标

• 理解离散时间两基因 AK 模型在参数区间内的全局动力学。
• 使用拓扑方法（Conley 指数）和 Morse 分解来识别不变量集及其稳定性。
• 提供对动力学的严格、计算机辅助分类，超越稳定吸引子的范畴。
• 通过区间算术实现参数连续性处理与鲁棒性评估。

提出的方法

• 模型：AK 离散时间两基因系统，x_{t+1} 与 y_{t+1} 的更新。
• 结合 isolating neighborhood、Conley 指数与 Morse 分解的拓扑-数值框架。
• 基于网格的数值 Morse 集，从在有界相空间上的映射构建。
• 使用区间算术对参数盒进行严格的连续化，以获得连续性类别。
• 图表示（CM 图）和图解用于传达 Conley 指数信息。
• 补充的非严格数值仿真，用于近似吸引子并可视化动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 AK 模型在参数区间内存在哪些不变量集（固定点、周期轨道、混沌集）？
• RQ2 Conley 指数和 Morse 分解如何刻画该系统的稳定性及不变量集之间的联系？
• RQ3 参数变化（在所选区间内）如何影响全局拓扑结构（连续性类别）？
• RQ4 是否能严格地检测并定位不稳定的不变量集，超越常规仿真所揭示的？
• RQ5 Lyapunov 基础的混沌指标与该模型的拓扑分类之间的关系是什么？

主要发现

• 在所选参数网格上识别出大量的连续性类别（110 种），指示丰富的全局动力学。
• 排除了动力学仅限于少数吸引子；该方法揭示除了吸引子外的不稳定不变量集（如两个周期为二的集和一个排斥集）。
• Conley 指数为每个数值 Morse 集提供定性稳定性信息，并显示通过 Morse 图可能的集合之间的连接。
• isolating neighborhoods 与 CM 图提供了对动力学状态的鲁棒、计算机辅助描述，超越传统的混沌/有序划分。
• 数值仿真证实了复杂动力学，包括双稳态和混沌吸引子，并展示了与拓扑结构的关系。