[论文解读] Topological obstructions to embedding of a matrix algebra bundle into a trivial one

А. В. Ершов|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在矩阵代数纤维维数满足算术条件时，识别出将复矩阵代数丛嵌入平凡丛中的拓扑障碍，将问题与结构为范畴群的主丛联系起来，并通过无限环空间作用及投影酉群的分类空间，将其与 twisted K-theory 联系起来。

ABSTRACT

In the present paper we describe topological obstructions to embedding of a (complex) matrix algebra bundle into a trivial one under some additional arithmetic condition on their dimensions. We explain a relation between this problem and some principal bundles with structure groupoid. Finally, we briefly discuss a relation of our results to the twisted K-theory.

研究动机与目标

• 确定局部平凡的复矩阵代数丛在何种条件下可被嵌入平凡丛中。
• 在矩阵代数维数满足算术约束的条件下，识别此类嵌入的拓扑障碍。
• 将嵌入问题与具有结构范畴群的主丛联系起来。
• 通过无限环空间及投影酉群的分类空间，探索与 twisted K-theory 的联系。

提出的方法

• 通过形如 $X \times M_n(\mathbb{C})$ 的平凡丛中的纤维化嵌入来分析嵌入问题。
• 引入范畴群 $\mathfrak{G}_{k,l}$ 以建模互素维数矩阵代数之间嵌入关系的结构。
• 通过对互素对 $(k,l)$ 取直极限，构造一个无限维作用范畴群 $\mathfrak{G} = \varinjlim \mathfrak{G}_{k,l}$。
• 依赖 $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ 的同伦理论结构——一个无限环空间——来建模其在格拉斯曼流形和分类空间上的普遍作用。
• 构建涉及 $\mathop{\rm BSU}\nolimits_{\otimes}$、$\mathop{\rm BFr}\nolimits$ 和 $\mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}$ 的纤维丛，以描述普遍 twisted K-theory 分类空间。
• 建立 $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ 在 K-theory 谱上的作用与 $\mathop{\rm BFr}\nolimits$ 上 $\mathop{\rm Fred}\nolimits(\mathcal{H})$-丛构造之间的对应关系，该关系类似于标准 twisted K-theory 设置中的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 当纤维维数满足特定算术条件时，哪些拓扑障碍会阻止矩阵代数丛被嵌入平凡丛中？
• RQ2 嵌入问题如何与具有结构范畴群的主丛相关联，而非标准的李群作用？
• RQ3 对 $\mathfrak{G}_{k,l}$ 的直极限在建模格拉斯曼流形和分类空间上的普遍作用中起什么作用？
• RQ4 无限环空间 $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ 在 K-theory 谱上的作用如何与 twisted K-theory 相关联？
• RQ5 能否通过 $[X, \prod_{n\geq 2} K(\mathbb{Q}, 2n)]$ 到 $[X, \mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}]$ 的映射的余核，定义非交换 Brauer 群的类比？

主要发现

• 将矩阵代数丛嵌入平凡丛中的拓扑障碍，由纤维维数的算术条件决定。
• 源自互素维数矩阵代数张量积的范畴群 $\mathfrak{G}_{k,l}$ 建模了嵌入关系，且其并非由李群作用诱导。
• 直极限 $\mathfrak{G} = \varinjlim \mathfrak{G}_{k,l}$ 对应于无限环空间 $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ 在格拉斯曼流形 $\mathop{\rm Gr}\nolimits$ 上的作用，从而导出纤维丛 $\mathop{\rm BSU}\nolimits_{\otimes} \to \mathop{\rm BFr}\nolimits$。
• 分类空间 $\mathop{\rm BFr}\nolimits$ 分解为 $K(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, 2) \times \mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}$，反映出 Brauer 群的挠部分与可除部分。
• 通过映射 $[X, \prod_{n\geq 2} K(\mathbb{Q}, 2n)] \to [X, \mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}]$ 的余核，定义了非交换 Brauer 群的类比，推广了经典的有限 Brauer 群。
• $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ 在 K-theory 谱上的作用诱导出 $\mathop{\rm BFr}\nolimits$ 上的 $\mathop{\rm Fred}\nolimits(\mathcal{H})$-丛，其构造与通过 $\mathop{\rm PU}\nolimits(\mathcal{H})$ 构造标准 twisted K-theory 的方式类似。