[论文解读] Topological Obstructions To Maximal Slices

Donald Witt|ArXiv.org|Aug 21, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明，大多数渐近平庸且空间闭合的全局双曲时空不具有最大时间片，原因在于拓扑障碍：空间流形 Σ 必须容许具有非负标量曲率（R ≥ 0）的度量，而这对大多数拓扑结构是不可能的。作者证明，仅特定拓扑——球面空间形式与 S²×S¹ 的连通和，或平坦流形——容许此类度量，表明在广义相对论中，最大时间片是例外而非普遍现象。

ABSTRACT

A necessary condition for a globally hyperbolic spacetime ${\mathbb R} imes Σ$ to admit a maximal slice is that the Cauchy slice $Σ$ admit a metric with nonnegative scalar curvature, $R\ge 0$. In this paper, the two cases considered are the closed spatial manifold and the asymptotically flat spatial manifold. Although most results here will apply in four or more spacetime dimensions, this work will mainly consider 4-dimensional spacetimes. For $Σ$ closed or asymptotically flat, all topologies are allowed by the field equations. Since all $Σ$ occur as Cauchy slices of solutions to the Einstein equations and most $Σ$ do not admit metrics with $R\ge 0$, it follows that most globally hyperbolic spacetimes never admit a maximal slice, i.e. a slice with zero mean extrinsic curvature. In particular, asymptotically flat globally hyperbolic spacetimes which admit maximal slices are the exception rather than the rule. The reason for this is due to topological obstructions to constructing such slices. In the asymptotically flat case, this will be shown by smooth compactification of the manifold in order to use the results for spatially closed manifolds.

研究动机与目标

• 识别阻止全局双曲时空拥有最大时间片的拓扑条件。
• 解决一个长期存在的问题：所有渐近平庸或闭合时空是否都能支持最大超曲面。
• 表明尽管所有三维流形都容许物理上合理的初始数据，但仅一小部分容许具有 R≥0 的度量，从而阻碍最大时间片的存在。
• 通过光滑紧化，将容许非负标量曲率的三维流形分类推广至渐近平庸时空。
• 阐明 CMC 超曲面的存在性不受拓扑阻碍，但最大时间片（CMC 且平均曲率为零）则受阻碍。

提出的方法

• 证明，若全局双曲时空 ℝ×Σ 容许最大时间片，则 Σ 必须容许具有 R≥0 的度量。
• 应用 Gromov-Lawson 对容许非负标量曲率的三维流形的分类，表明仅一小部分闭合三维流形满足此条件。
• 利用算子 −8D²+R 的格林函数，建立紧化定理，将渐近平庸流形与闭合流形联系起来。
• 使用最大值原理，证明紧化度量中的共形因子 φ>0，从而保证光滑性与正定性。
• 将紧化结果与具有 R>0 的闭合三维流形分类相结合，分类出哪些渐近平庸的 Σ 容许具有 R≥0 的度量。
• 应用该定理表明，仅球面空间形式与 S²×S¹ 的连通和（或平坦流形）能支持最大时间片。

实验结果

研究问题

• RQ1 全局双曲时空的空间拓扑 Σ 中，哪些容许最大时间片？
• RQ2 何种拓扑障碍阻止三维流形容许具有非负标量曲率的度量？
• RQ3 是否能保证所有渐近平庸时空都具有最大时间片，还是存在普遍的拓扑障碍？
• RQ4 渐近平庸流形的紧化如何与具有 R≥0 的度量的存在性相关？
• RQ5 是否存在具有非平凡拓扑的时空，容许 CMC 超曲面但不支持最大时间片？

主要发现

• 大多数渐近平庸的全局双曲时空不具有最大时间片，因为其空间拓扑不允许具有 R≥0 的度量。
• 仅容许具有 R≥0 度量的闭合三维流形为球面空间形式与 S²×S¹ 的连通和，或六种平坦流形之一。
• 对于渐近平庸时空，空间拓扑必须是球面空间形式与 S²×S¹ 的连通和，再移除有限个点，才能容许最大时间片。
• 紧化定理将具有 R≥0 的渐近平庸流形的分类问题转化为具有 R>0 的闭合流形的分类问题，从而可借助已知结果进行分类。
• 所有三维流形都容许物理上合理的初始数据，包括 CMC 超曲面，但仅一小部分容许最大时间片，原因在于曲率约束。
• 仅凭拓扑无法保证最大时间片的存在；即使拓扑允许，时空几何仍可能阻止其存在，如具有 T³ 拓扑的尘埃填充的罗伯逊-沃尔克模型所示。