[论文解读] Topological phases and quantum computation

Alexei Kitaev, Chris R. Laumann|ArXiv.org|Apr 20, 2009

Topological Materials and Phenomena参考文献 10被引用 77

一句话总结

本文建立了一套理论框架，将量子多体系统中的拓扑相与容错量子计算联系起来。通过分析精确可解模型——如Majorana链、任意子码和蜂窝晶格——表明拓扑简并和任意子激发源于全局拓扑不变量，从而实现对局部扰动具有鲁棒性的量子信息存储以及基于编织的容错量子门。

ABSTRACT

This is a collection of lecture notes from three lectures given by Alexei Kitaev at the 2008 Les Houches summer school "Exact methods in low-dimensional physics and quantum computing." They provide a pedagogical introduction to topological phenomena in 1-D superconductors and in the 2-D topological phases of the toric code and honeycomb model.

研究动机与目标

• 识别并表征在一维和二维量子系统中实现保护量子比特的拓扑相。
• 证明在能隙系统中，拓扑简并源于底层流形的拓扑性质，而非局域对称性。
• 表明非阿贝尔任意子和手征性边缘模式可在精确可解模型中实现，从而实现拓扑量子计算。
• 建立拓扑不变量（如陈数）与费米子和自旋系统中稳健边缘模式数量之间的联系。
• 利用有效哈密顿量和共形场论分析拓扑量子比特在局部扰动下的鲁棒性。

提出的方法

• 使用Jordan-Wigner变换将横向场伊辛模型（TFIM）映射为二次费米子哈密顿量，揭示链边界处存在的Majorana零模。
• 在正方形晶格上应用Kitaev任意子码模型，显式构造基态和具有阿贝尔统计性质的任意子激发。
• 引入任意子码的规范形式，揭示涌现的拓扑序和任意子编织统计。
• 使用每个格点四个Majorana费米子分析蜂窝晶格模型，将自旋系统映射为具有可调配对项的费米子哈密顿量。
• 通过哈密顿量矩阵负本征空间的动量空间映射计算谱陈数，将其与手征性边缘模式数量关联。
• 利用共形场论（CFT）计算边缘能量流，并通过手征性中心荷验证手征性模式的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在能隙量子系统中，拓扑简并如何受到局部扰动的保护？
• RQ2 拓扑在稳定一维链末端零能Majorana模中的作用是什么？
• RQ3 任意子码中的任意子激发如何表现出阿贝尔统计，并支持拓扑量子计算？
• RQ4 在时间反演对称性破缺的二维费米子系统中，决定手征性边缘模式数量的拓扑不变量是什么？
• RQ5 为何手征性边缘模式对局部扰动具有鲁棒性，且其能量流为何是量子化的？

主要发现

• 一维Majorana链在开放边界条件下表现出两重简并基态，这是由于零能Majorana零模的存在，其受$\bbZ_2$对称性保护。
• 在环面上的任意子码具有四重拓扑简并基态，源于绕非可缩圈穿行的任意子通量。
• 任意子码中的任意子服从阿贝尔统计：编织两个任意子产生相位因子$-1$（任意子统计），融合规则为$e \times m = f$，$e \times f = m$等。
• 蜂窝晶格模型支持一个陈数$\nu = 1$的能隙相，对应于一个由拓扑保护的单个手征性Majorana边缘模式。
• 手征性边缘模式在温度$T$下携带量化能量流$I = \frac{\tau}{12}(c - \bar{c})T^2 = \frac{\tau}{24}\tau^2$，其中单个手征性模式的$c - \bar{c} = 1$。
• 动量空间中费米子哈密顿量矩阵的谱陈数直接计数手征性边缘模式数量：$\nu = (\text{左行者}) - (\text{右行者})$。