[论文解读] Topological phases protected by point group symmetry

Hao Song, Sheng-Jie Huang+2 more|CU Scholar (University of Colorado Boulder)|Apr 27, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 24

一句话总结

本文提出一个通用框架，用于分类和表征具有晶体系点群对称性的自旋液体和费米子对称保护拓扑（SPT）相，表明此类相可作为具有局域对称性的低维拓扑态的堆叠与阵列构建而成。关键贡献在于对三维点群SPT相的系统性分类，包括电子拓扑晶态绝缘体的$π×\mathbb{Z}_{2}$分类，以及费米子拓扑晶态超导体的$π_{8}×\mathbb{Z}_{2}$分类，揭示了一类新的强关联拓扑相。

ABSTRACT

We consider symmetry protected topological (SPT) phases with crystalline point group symmetry, dubbed point group SPT (pgSPT) phases. We show that such phases can be understood in terms of lower-dimensional topological phases with on-site symmetry, and can be constructed as stacks and arrays of these lower-dimensional states. This provides the basis for a general framework to classify and characterize bosonic and fermionic pgSPT phases, that can be applied for arbitrary crystalline point group symmetry and in arbitrary spatial dimension. We develop and illustrate this framework by means of a few examples, focusing on three-dimensional states. We classify bosonic pgSPT phases and fermionic topological crystalline superconductors with $Z_2^P$ (reflection) symmetry, electronic topological crystalline insulators (TCIs) with ${ m U}(1) imes {Z}_2^P$ symmetry, and bosonic pgSPT phases with $C_{2v}$ symmetry, which is generated by two perpendicular mirror reflections. We also study surface properties, with a focus on gapped, topologically ordered surface states. For electronic TCIs we find a $Z_8 imes Z_2$ classification, where the $Z_8$ corresponds to known states obtained from non-interacting electrons, and the $Z_2$ corresponds to a "strongly correlated" TCI that requires strong interactions in the bulk. Our approach may also point the way toward a general theory of symmetry enriched topological (SET) phases with crystalline point group symmetry.

研究动机与目标

• 开发一个通用框架，用于分类具有晶体系点群对称性的对称保护拓扑（SPT）相，称为点群SPT（pgSPT）相。
• 将现有分类方法——此前仅限于内部对称性——扩展至任意空间维度中的晶体系对称性，如镜像和旋转对称性。
• 识别并表征无法通过非相互作用能带理论描述的强关联SPT相，特别是在具有镜像对称性的体系中。
• 分析pgSPT相的表面态，重点关注实现任意统计的能隙、拓扑序表面态。
• 为具有晶体系点群对称性的对称 enriched 拓扑（SET）相的一般理论奠定基础。

提出的方法

• 作者将pgSPT相构建为具有局域对称性的低维拓扑态的堆叠与阵列，实现在任意维度中的系统性分类。
• 他们采用广义的任意子分数化概念，并利用弦算符和膜算符探测镜面处的任意统计和对称变换。
• 该框架应用于特定点群，包括$\mathbb{Z}_{2}^{P}$（镜像）、$C_{2v}$（两个正交镜面）和$\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$（电荷与镜像对称性）。
• 对于费米子系统，他们使用具有镜像对称任意子的改进的量子码模型，证明了拓扑简并基态的存在以及对称性保持的序。
• 通过分数化对称性和任意子编织统计的相容性条件推导分类，利用对称算符在镜面轴上乘积的约束。
• 该方法包括通过投影到在镜像作用下相互变换的态的对称叠加，构建镜像不变的基态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意空间维度中系统性地分类由晶体系点群对称性保护的拓扑相？
• RQ2 强电子关联在生成超越非相互作用能带理论分类的新拓扑不变量中起什么作用？
• RQ3 点群SPT相中是否可能出现能隙、拓扑序的表面态，其任意子结构是什么？
• RQ4 镜像对称性如何约束费米子和玻色子体系中可能的拓扑不变量？
• RQ5 该框架能否扩展为具有晶体系点群对称性的对称 enriched 拓扑相的一般理论？

主要发现

• 本文建立了具有$\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$对称性的电子拓扑晶态绝缘体的$π_{8}×\mathbb{Z}_{2}$分类，其中$\mathbb{Z}_{8}$分量对应非相互作用态，$\mathbb{Z}_{2}$分量对应一种新的、强关联的TCI相。
• 对于具有$\mathbb{Z}_{2}^{P}$镜像对称性的费米子拓扑晶态超导体，当$\sigma^{2}=1$时分类为$\mathbb{Z}_{16}$，当$\sigma^{2}=(-1)^{F}$时为平凡分类，表明其基于费米子统计的差异。
• 具有$C_{2v}$对称性（两个正交镜像反射）的玻色子pgSPT相被分类为$(\mathbb{Z}_{2})^{4}$，反映了多重镜像对称性的相互作用。
• 改进的量子码模型实现了四重拓扑简并，并支持通过弦算符在镜面轴上传输任意子，证实了非平凡的任意统计。
• 作为在镜像作用下相互变换的两个态的对称叠加，构建了镜像不变的基态，即使在局部对称性破缺的情况下也确保了全局对称性。
• 该框架表明，某些拓扑相在体相中需要强关联性，如$\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$分类中的$\mathbb{Z}_{2}$分量，这无法由自由费米子模型捕捉。