[论文解读] Topological Poincaré type inequalities and lower bounds on the infimum of the spectrum for graphs

Daniel Lenz, Marcel Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过引入几何动机的度量——特别是电阻度量和伪度量——在图上建立了拓扑Poincaré型不等式，以直径和内径等几何不变量表征最佳常数。通过在任意概率测度下将这些常数与拉普拉斯算子的谱间隙联系起来，推导出变分公式，从而得到谱间隙和更高特征值的精确下界，相较于经典界限，对有限图的改进幅度达4倍。

ABSTRACT

We study topological Poincaré type inequalities on general graphs. We characterize graphs satisfying such inequalities and then turn to the best constants in these inequalities. Invoking suitable metrics we can interpret these constants geometrically as diameters and inradii. Moreover, we can relate them to spectral theory of Laplacians once a probability measure on the graph is chosen. More specifically, we obtain a variational characterization of these constants as infimum over spectral gaps of all Laplacians on the graphs associated to probability measures.

研究动机与目标

• 在不依赖测度的前提下，表征满足拓扑Poincaré不等式（TPI）的图。
• 利用基于电阻度量的直径和内径等几何不变量，确定TPI中最佳常数的表征。
• 通过证明这些常数是图上的所有全支撑概率测度所对应的拉普拉斯算子的谱间隙的下确界，将其与谱理论联系起来。
• 利用Poincaré常数推导出拉普拉斯算子的谱下确界和更高特征值的下界。

提出的方法

• 在图上定义一个伪度量 $\delta$，使得对所有 $x,y \in X$ 和 $f \in \mathcal{D}$，有 $|f(x) - f(y)|^2 \leq \delta(x,y)\mathcal{E}(f)$，从而将不等式与该度量下的图的直径联系起来。
• 引入电阻度量 $r$ 及其变体 $r'$ 和 $r_\Omega$，以几何方式解释最佳常数 $c_P$ 为 $\mathrm{diam}_{r'}(X)$ 或 $\mathrm{Inr}_{r_\Omega}(\Omega)$。
• 利用变分原理证明，最佳常数 $c_P$ 等于所有全支撑概率测度所对应的拉普拉斯算子的第二诺伊曼特征值的下确界。
• 应用极小-极大原理和Poincaré型估计，以 $c_P$、$m(X\setminus F)$ 和 $c_P^{X\setminus F}$ 表示更高特征值 $\lambda_{n+1}$ 的上界。
• 证明对于典范可紧化图，最佳常数 $c_P$ 等于电阻度量 $r'$ 下的直径，即 $c_P = \mathrm{diam}_{r'}(X)$。
• 证明第一非零特征值的谱间隙满足下界 $4 / (c_P m(X))$，相较于经典估计，改进了4倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图能保证对所有有限能量函数成立形式为 $\|f\|_{\infty}^2 \leq c\mathcal{E}(f)$ 的拓扑Poincaré不等式？
• RQ2 如何利用直径和内径等度量，通过几何方式表征此类不等式中最佳常数 $c_P$？
• RQ3 最佳常数 $c_P$ 与图上任意概率测度下的拉普拉斯算子谱间隙之间存在何种关系？
• RQ4 Poincaré不等式能否用于控制图上诺伊曼拉普拉斯算子的更高特征值？
• RQ5 在限制Poincaré不等式（例如，函数在 $\Omega$ 外消失）中，常数如何与谱不变量相关？

主要发现

• 对所有有限能量函数，拓扑Poincaré不等式中的最佳常数 $c_P$ 等于图在电阻度量 $r'$ 下的直径，即 $c_P = \mathrm{diam}_{r'}(X)$。
• 对于有限组合图，谱间隙的下界相比经典估计提高了4倍，得到 $\lambda_1 \geq 4 / (c_P m(X))$。
• 最佳常数 $c_P$ 被表征为图上所有全支撑概率测度所对应的拉普拉斯算子的第二诺伊曼特征值的下确界。
• 对于在真子集 $\Omega$ 外消失的函数，最佳常数 $c_P^\Omega$ 等于 $\Omega$ 在度量 $r_\Omega$ 下的内径，且 $c_P^\Omega = \sup_{\Omega' \subsetneq X} \mathrm{Inr}_{r_{\Omega'}}(\Omega')$。
• 第一非零特征值 $\lambda_1$ 满足 $\lambda_1 \geq 4 / (c_P m(X))$，而对于更高特征值 $\lambda_{n+1} \geq 1 / (c_P^{X\setminus F} m(X\setminus F))$（当 $n \geq 1$ 时），其中 $F$ 是 $n$ 个点的集合。
• 谱间隙的下界为 $4 / (c_P m(X))$，且该界对 $\lambda_1$ 是精确的，如定理3.6中的变分表征所示。