[论文解读] Topological properties of the unitary group

Jesús F. Espinoza, Bernardo Uribe|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

advanced mathematical theories参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文证明了无限维可分希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的酉群 $U(\mathcal{H})$ 在强算子拓扑、紧开拓扑和弱算子拓扑下是波兰群，因为这些拓扑在 $U(\mathcal{H})$ 上彼此重合。作者通过证明逆映射和乘法映射在这些拓扑下连续，解决了长期存在的歧义，纠正了阿蒂亚与西格尔在扭 equivariant K-理论奠基性工作中的错误断言。

ABSTRACT

We show that the strong operator topology, the weak operator topology and the compact-open topology agree on the space of unitary operators of a infinite dimensional separable Hilbert space. Moreover, we show that the unitary group endowed with any of these topologies is a Polish group.

研究动机与目标

• 澄清无限维可分希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上酉群 $U(\mathcal{H})$ 的拓扑结构。
• 解决文献中长期存在的混淆，特别是阿蒂亚与西格尔错误断言 $U(\mathcal{H})$ 在紧开拓扑下不是拓扑群的问题。
• 证明强算子拓扑、弱算子拓扑和紧开拓扑在 $U(\mathcal{H})$ 上彼此重合。
• 证明 $U(\mathcal{H})$ 配备任意一种这些拓扑后均为波兰群，即完全可度量化且可分。

提出的方法

• 作者分析了有界算子空间 $B(\mathcal{H})$ 上各种算子拓扑（范数、强、弱、紧开及其 *-变体）中的收敛性。
• 他们将注意力集中于酉群 $U(\mathcal{H})$，即满足 $UU^* = U^*U = \mathrm{Id}$ 的算子集合。
• 利用贝尔纲定理和巴拿赫-斯坦豪斯定理，他们证明强算子拓扑中的序列收敛蕴含在紧集上的一致收敛，从而在 $U(\mathcal{H})$ 上建立了强拓扑与紧开拓扑的等价性。
• 通过证明对所有 $x$ 有 $T_k x \to Tx$ 的范数收敛蕴含矩阵元 $\langle T_k x, y \rangle \to \langle T x, y \rangle$ 的收敛，他们证明了强算子拓扑与弱算子拓扑在 $U(\mathcal{H})$ 上一致。
• 他们利用 $U(\mathcal{H})$ 在强算子拓扑下是 $B(\mathcal{H})$ 的闭子集，且强算子拓扑在 $U(\mathcal{H})$ 上完全可度量化这一事实。
• 他们构造了算子拓扑之间连续映射的交换图，并利用强拓扑中的紧集在紧开拓扑中也是紧集的事实，证明恒等映射在 $U(\mathcal{H})_{\text{co}}$ 与 $U(\mathcal{H})_{\text{s}}$ 之间诱导出一个同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧开拓扑是否使酉群 $U(\mathcal{H})$ 成为拓扑群？
• RQ2 强算子拓扑、弱算子拓扑和紧开拓扑是否在 $U(\mathcal{H})$ 上重合？
• RQ3 $U(\mathcal{H})$ 在这些拓扑之一下是否为波兰群？
• RQ4 在紧开拓扑下，$U(\mathcal{H})$ 上的逆映射是否连续？
• RQ5 阿蒂亚与西格尔声称 $U(\mathcal{H})$ 在紧开拓扑下不是拓扑群的断言是否成立？

主要发现

• 强算子拓扑、弱算子拓扑和紧开拓扑在酉群 $U(\mathcal{H})$ 上彼此重合。
• 在紧开拓扑下，$U(\mathcal{H})$ 上的逆映射是连续的，解决了阿蒂亚与西格尔工作中一个关键问题。
• 配备强算子拓扑的酉群 $U(\mathcal{H})$ 是波兰群，即完全可度量化且可分。
• 在 $U(\mathcal{H})$ 上，范数拓扑严格强于强算子拓扑，这一点由一个在强收敛但不范数收敛的酉算子序列所证明。
• $U(\mathcal{H})_{\text{co}}$ 与 $U(\mathcal{H})_{\text{s}}$ 之间的恒等映射是同胚，证明了拓扑等价性。
• $U(\mathcal{H})$ 在紧开拓扑下是拓扑群，这与阿蒂亚与西格尔 2004 年论文中的断言相反。