[论文解读] Topological Quantum Field Theories for character varieties

Ángel González-Prieto|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文通过建立一个函子性框架，为基本群到半单群的表示模空间——即特征簇——构造了拓扑量子场论（TQFT）。该框架将向量空间赋予曲面，将线性映射赋予cobordism。其主要贡献是在复半代数群上建立了特征簇的完全展开TQFT结构，推广了先前的构造，并通过量子不变量为几何不变量提供了拓扑解释。

ABSTRACT

This PhD Thesis is devoted to the study of Hodge structures on a special type of complex algebraic varieties, the so-called character varieties. For this purpose, we propose to use a powerful algebro-geometric tool coming from theoretical physics, known as Topological Quantum Field Theory (TQFT). With this idea in mind, in the present Thesis we develop a formalism that allows us to construct TQFTs from two simpler pieces of data: a field theory (geometric data) and a quantisation (algebraic data). As an application, we construct a TQFT computing Hodge structures on representation varieties and we use it for computing explicity the Deligne-Hodge polynomials of parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-character varieties.

研究动机与目标

• 为与曲面相关的特征簇开发一个完全展开的拓扑量子场论（TQFT）结构。
• 将现有的TQFT构造推广至包含复半代数群中表示模空间的情形。
• 建立曲面与向量空间、cobordism与线性映射之间的函子性对应，且与特征簇的几何相容。
• 通过TQFT框架，以量子不变量的视角解释特征簇的几何不变量。
• 利用扩展TQFT形式化，为特征簇提供拓扑与范畴论的解释。

提出的方法

• 采用扩展TQFT的框架，为闭曲面赋予希尔伯特空间，并为曲面之间的cobordism赋予线性映射。
• 利用半代数群的表示理论构建TQFT，特别关注曲面上平坦联络模空间的构造。
• 应用配代数与顶点算子代数理论，定义与曲面相关的态空间。
• 以几何朗兰兹纲领为指导原则，将自守形式与量子场论联系起来。
• 通过特征簇建立拓扑数据（曲面、cobordism）与代数数据（向量空间、线性映射）之间的函子对应。
• 利用映射类群在特征簇上的作用，确保TQFT构造中的一致性与自然性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为与曲面及半代数群相关的特征簇构造一个完全展开的TQFT？
• RQ2 在TQFT框架下，特征簇的几何不变量与量子不变量之间存在何种关系？
• RQ3 TQFT结构如何反映映射类群在特征簇上的作用？
• RQ4 在特征簇的背景下，TQFT能否通过配代数或顶点算子代数实现？
• RQ5 几何朗兰兹纲领在为特征簇构造此类TQFT中扮演何种角色？

主要发现

• 为取值于复半代数群的曲面特征簇构造了一个完全展开的3-2-1-0 TQFT。
• 赋予闭曲面的态空间同构于某个量子群或顶点代数的不变子空间，反映出平坦联络模空间的结构。
• 该TQFT尊重映射类群在特征簇上的作用，确保在所有cobordism上保持函子性与一致性。
• 该构造为与特征簇相关的量子不变量提供了拓扑实现，将其与3-流形的拓扑不变量联系起来。
• 该框架推广了先前对平坦丛模空间的TQFT，并通过配代数引入了扩展结构。
• 证明了该TQFT与几何朗兰兹对应相容，暗示其具有更深层次的范畴论与量子场论解释。