[论文解读] Topological recursion for generalised Kontsevich graphs and r-spin intersection numbers

Raphaël Belliard, Séverin Charbonnier+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文证明了ciliated maps——广义康采维奇矩阵模型（GKM）的费曼图——受拓扑递归支配，从而将其与r自旋交点数联系起来。通过引入四类广义康采维奇图并证明一种类似Tutte的递归关系，作者表明这些图的生成函数满足在谱曲线上由拓扑递归导出的环方程，从而通过拓扑递归将矩阵模型、可积系统族与交点理论联系起来。

ABSTRACT

Kontsevich introduced certain ribbon graphs as cell decompositions for combinatorial models of moduli spaces of complex curves with boundaries in his proof of Witten's conjecture. In this work, we define four types of generalised Kontsevich graphs and find combinatorial relations among them. We call the main type ciliated maps and use the auxiliary ones to show they satisfy a Tutte recursion that we turn into a combinatorial interpretation of the loop equations of topological recursion for a large class of spectral curves. It follows that ciliated maps, which are Feynman graphs for the Generalised Kontsevich matrix Model (GKM), are computed by topological recursion. Our particular instance of the GKM relates to the r-KdV integrable hierarchy and since the string solution of the latter encodes intersection numbers with Witten's $r$-spin class, we find an identity between ciliated maps and $r$-spin intersection numbers, implying that they are also governed by topological recursion. In turn, this paves the way towards a combinatorial understanding of Witten's class. This new topological recursion perspective on the GKM provides concrete tools to explore the conjectural symplectic invariance property of topological recursion for large classes of spectral curves.

研究动机与目标

• 建立广义康采维奇图（特别是ciliated maps）在广义康采维奇矩阵模型（GKM）背景下的组合与拓扑递归框架。
• 证明ciliated maps的生成函数满足谱曲线上拓扑递归的环方程。
• 将GKM与r-KdV可积族联系起来，并表明其配分函数编码了r自旋交点数。
• 通过拓扑递归为威滕的r自旋类提供新的组合解释。
• 通过此构造探索拓扑递归在一大类谱曲线上是否具有辛对称性。

提出的方法

• 引入四类广义康采维奇图：无ciliated图、ciliated图、多ciliated图和方ciliated图，其中ciliated图为核心研究对象。
• 为这些图定义生成函数，并推导出控制其计数的类似Tutte的递归关系。
• 从GKM的势函数构造谱曲线，通过多项式Q(ζ)进行有理参数化，并确定分支点b_k。
• 对谱曲线应用拓扑递归，生成n-微分ω_{g,n}^{[r]}(ζ_1,…,ζ_n)，并证明其与ciliated maps的生成函数一致。
• 利用拓扑递归的环方程，证明生成函数W^{[r]}_{g,n}满足相同的递归结构。
• 通过威滕r自旋类的ELSV型公式，建立矩阵模型自由能与交点数之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义康采维奇矩阵模型中ciliated maps的生成函数能否被解释为在适当谱曲线上满足拓扑递归方程的解？
• RQ2 r自旋交点数与GKM的配分函数及其累积量之间有何关系？
• RQ3 拓扑递归形式化是否可推广至具有非简单分支点（如r-KdV族中出现的）的谱曲线？
• RQ4 GKM的字符串方程能否从拓扑递归框架中导出？其是否对应于r自旋交点数的生成函数？
• RQ5 拓扑递归的辛对称性属性是否可在与GKM相关的谱曲线上实现？

主要发现

• ciliated maps的生成函数满足由GKM势函数定义的谱曲线上拓扑递归的环方程，证明其确实由拓扑递归计算得出。
• GKM的自由能F^{[r]}_g(\underline{t})与r自旋交点数的生成系列完全匹配，建立了矩阵模型与交点理论之间的直接联系。
• 推导出一个ELSV型公式，将r自旋交点数的生成函数表示为GKM配分函数及对角矩阵模型关联函数累积量的函数。
• GKM的谱曲线具有r−1个分支点，通过高阶递归形式化，将拓扑递归扩展至处理非简单分支点。
• GKM的字符串方程被证明等价于拓扑递归的初始条件，从而确认其与威滕r自旋类的一致性。
• 证明了GKM的配分函数是r-KdV族的τ函数，其对数导数即为r自旋交点数的生成函数。