[论文解读] Topological simplicity, commensurator super-rigidity and non-linearities of Kac-Moody groups

Bertrand Rémy, Patrick Bonvin|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过共轭子群超刚性定理与抛物子群的动力系统刻画，证明了在右角双曲Fuchsian建筑物上，某些有限域上的可数Kac-Moody群在任意域上都不是线性的。此外，本文进一步表明，拓扑Kac-Moody群是拓扑单群的直积，且其Iwahori子群正规化pro-p Sylow子群，从而强化了其与正特征局部域上半单群的类比关系。

ABSTRACT

We provide new arguments to see topological Kac-Moody groups as generalized semisimple groups over local fields: they are products of topologically simple groups and their Iwahori subgroups are the normalizers of the pro-p Sylow subgroups. We use a dynamical characterization of parabolic subgroups to prove that some countable Kac-Moody groups with Fuchsian buildings are not linear. We show for this that the linearity of a countable Kac-Moody group implies the existence of a closed embedding of the corresponding topological group in a non-Archimedean simple Lie group, thanks to a commensurator super-rigidity theorem proved in the Appendix by P. Bonvin.

研究动机与目标

• 证明某些有限域上的可数Kac-Moody群在任意域上（包括同特征域）都不是线性的。
• 建立拓扑Kac-Moody群与正特征局部域上半单群之间的结构类比。
• 证明拓扑Kac-Moody群中Iwahori子群即为pro-p Sylow子群的正规化子。
• 通过群在建筑物上的作用，对抛物子群提供动力系统刻画。
• 通过超刚性方法，将抽象群同态连续延拓至非阿基米德简单李群中的同态。

提出的方法

• 利用附录中P. Bonvin证明的共轭子群超刚性定理，将抽象群同态提升为进入非阿基米德简单李群的连续同态。
• 应用动力系统技术，特别是利用到目标群齐性空间的Γ-等变可测边界映射。
• 运用精细Tits系统理论及抛子群的虚拟pro-p性质，分析拓扑Kac-Moody群的结构。
• 利用群在Bruhat-Tits建筑物乘积上的作用，推导出格点性质与算术性。
• 应用遍历论与Zariski闭包论证，证明边界映射并非本质上常值，从而推出像的非平凡性。
• 使用Zorn引理与代数子群的降链条件，构造从边界空间到齐性空间的Λ-等变可测映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有右角双曲Fuchsian建筑物的可数Kac-Moody群是否在任意域（包括同特征域）上都是线性的？
• RQ2 拓扑Kac-Moody群的结构能否被理解为正特征局部域上半单群的推广？
• RQ3 拓扑Kac-Moody群中的Iwahori子群是否可表征为pro-p Sylow子群的正规化子？
• RQ4 线性表示的连续延拓是否存在是否意味着群可嵌入非阿基米德简单李群？
• RQ5 群在建筑物上的作用的动力性质能否用于检测非线性性？

主要发现

• 本文证明，对每个素数p，存在无穷多个有限域上特征为p的可数Kac-Moody群，它们在任意域上都不是线性的。
• 证明了有限域上的拓扑Kac-Moody群是拓扑单群的直积，每个连通分支对应一个因子。
• 拓扑Kac-Moody群中的Iwahori子群恰好是pro-p Sylow子群的正规化子。
• 可数Kac-Moody群的线性性蕴含其通过共轭子群超刚性可闭嵌入非阿基米德简单李群。
• 通过边界映射对抛物子群的动力系统刻画，在线性情形导致矛盾，从而证明非线性性。
• 从Furstenberg边界到有理表示的Grassmannian的边界映射并非本质上常值，意味着像在Zariski拓扑下稠密且非平凡。