[论文解读] Topological Strings, Two-Dimensional Yang-Mills Theory and Chern-Simons Theory on Torus Bundles

Nicola Caporaso, Michele Cirafici+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文建立了二维杨-米尔斯理论在环面上、局部卡勒-丘三fold（环面上两个线丛的和）上的拓扑弦理论，以及环面丛上的陈-西蒙斯理论之间的精确对应关系。它表明，杨-米尔斯理论的大N手征分划函数与通过拓扑顶点计算的拓扑弦振幅完全匹配，明确建立了格罗莫夫-威滕不变量、赫尔维茨数与戈帕库马尔-瓦法不变量之间的关系，且完全验证了其整数性。规范理论为唐纳森-托马斯不变量提供了组合解法，并实现了在局部卡勒-丘背景下的BPS黑洞简并度的精确计算。

ABSTRACT

We study the relations between two-dimensional Yang-Mills theory on the torus, topological string theory on a Calabi-Yau threefold whose local geometry is the sum of two line bundles over the torus, and Chern-Simons theory on torus bundles. The chiral partition function of the Yang-Mills gauge theory in the large N limit is shown to coincide with the topological string amplitude computed by topological vertex techniques. We use Yang-Mills theory as an efficient tool for the computation of Gromov-Witten invariants and derive explicitly their relation with Hurwitz numbers of the torus. We calculate the Gopakumar-Vafa invariants, whose integrality gives a non-trivial confirmation of the conjectured nonperturbative relation between two-dimensional Yang-Mills theory and topological string theory. We also demonstrate how the gauge theory leads to a simple combinatorial solution for the Donaldson-Thomas theory of the Calabi-Yau background. We match the instanton representation of Yang-Mills theory on the torus with the nonabelian localization of Chern-Simons gauge theory on torus bundles over the circle. We also comment on how these results can be applied to the computation of exact degeneracies of BPS black holes in the local Calabi-Yau background.

研究动机与目标

• 建立二维杨-米尔斯理论在环面上与局部卡勒-丘三fold上的拓扑弦理论之间的非微扰对偶性。
• 利用二维杨-米尔斯理论的高效框架计算局部卡勒-丘背景的格罗莫夫-威滕不变量。
• 通过显式计算确认戈帕库马尔-瓦法不变量的整数性，验证非微扰对偶性。
• 利用规范理论为局部卡勒-丘几何中的唐纳森-托马斯不变量提供组合解法。
• 将二维杨-米尔斯在环面上的瞬子展开与环面丛上陈-西蒙斯理论的非交换局部化公式相匹配。

提出的方法

• 使用拓扑顶点形式化方法计算具有局部环面几何的卡勒-丘三fold上的拓扑弦振幅。
• 在大N极限下计算二维U(N)杨-米尔斯理论在环面上的手征分划函数，证明其与拓扑弦振幅等价。
• 通过规范理论技术显式推导格罗莫夫-威滕不变量与环面赫尔维茨数之间的关系。
• 从规范理论分划函数计算戈帕库马尔-瓦法不变量，通过其整数性作为一致性检验。
• 将规范理论框架应用于获得局部卡勒-丘背景中唐纳森-托马斯不变量的组合表达式。
• 将二维杨-米尔斯在环面上的瞬子展开与环面丛上陈-西蒙斯理论的非交换局部化公式相匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维杨-米尔斯理论在环面上的手征分划函数是否能重现局部卡勒-丘三fold上的拓扑弦振幅？
• RQ2 局部卡勒-丘背景的格罗莫夫-威滕不变量与环面赫尔维茨数之间有何关系？
• RQ3 从规范理论积分计算出的戈帕库马尔-瓦法不变量是否为整数，并满足整数性猜想？
• RQ4 能否利用二维杨-米尔斯理论的组合方法计算局部卡勒-丘几何的唐纳森-托马斯不变量？
• RQ5 二维杨-米尔斯在环面上的瞬子展开与环面丛上陈-西蒙斯理论的非交换局部化之间是否存在精确对应？

主要发现

• 在大N极限下，二维杨-米尔斯理论在环面上的手征分划函数与通过拓扑顶点计算的拓扑弦振幅完全匹配，证实了非微扰对偶性。
• 通过规范理论计算，局部卡勒-丘三fold的格罗莫夫-威滕不变量与环面赫尔维茨数之间建立了显式关系。
• 从规范理论导出的戈帕库马尔-瓦法不变量为整数，为二维杨-米尔斯与拓扑弦理论之间猜想的非微扰对偶性提供了有力证据。
• 局部卡勒-丘背景的唐纳森-托马斯不变量通过从二维杨-米尔斯分划函数导出的简单组合公式得以计算。
• 二维杨-米尔斯在环面上的瞬子表示被证明与环面丛上陈-西蒙斯理论的非交换局部化公式完全匹配，建立了直接的场论联系。
• 该框架使得在局部卡勒-丘背景中精确计算BPS黑洞简并度成为可能，将OSV猜想推广至环面纤维化几何。