[论文解读] Topological structure of spaces of stability conditions and topological Fukaya type categories

Yu Qiu|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文综述了三角范畴上稳定性条件空间的拓扑结构，通过HRS倾斜方法聚焦有限型分量，通过拓扑Fukaya范畴聚焦拟有限型分量。研究证明这些空间同构于二次微分的模空间，通过微分沿曲线的周期积分实现了稳定性条件的几何实现，关键结果通过Bridgeland-Smith与Haiden-Katzarkov-Kontsevich定理，将曲面导出范畴上的稳定性条件与二次微分模空间联系起来。

ABSTRACT

This is a survey on two closely related subjects. First, we review the study of topological structure of `finite type' components of spaces of Bridgeland's stability conditions on triangulated categories. The key is to understand Happel-Reiten-Smalo tilting as tiling of cells. Second, we review topological realizations of various Fukaya type categories, namely cluster/Calabi-Yau and derived categories from surfaces. The corresponding spaces of stability conditions are of `tame' nature and can be realized as moduli spaces of quadratic differentials due to Bridgeland-Smith and Haiden-Katzarkov-Kontsevich.

研究动机与目标

• 通过HRS倾斜作为铺砌机制，理解有限型分量的稳定性条件空间的全局拓扑结构。
• 探索源自曲面导出范畴的拟有限型分量的稳定性条件，特别是通过拓扑Fukaya范畴。
• 通过二次微分的模空间建立稳定性条件的几何实现，如Bridgeland-Smith与Haiden-Katzarkov-Kontsevich所开创的。
• 通过即将发表的q-变形与带框架的模空间工作，统一范畴与几何视角下的稳定性条件。

提出的方法

• 利用HRS倾斜对稳定性条件空间的有限型分量进行分层与铺砌，揭示其可缩拓扑。
• 应用交换图构造作为对偶骨架，分析稳定性分量的全局拓扑。
• 在曲面上使用带格的弧模型，通过拓扑Fukaya范畴范畴化建模簇与导出范畴。
• 在带格的弧与拓扑Fukaya范畴中的不可约对象之间建立对应关系。
• 通过在弧的双重覆盖上对二次微分的平方根进行周期积分，计算半稳定对象的中心电荷。
• 依赖于带符号二次微分的模空间与稳定性条件空间连通分量之间的同构关系，如定理5.1与5.3所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过HRS倾斜理解稳定性条件空间中有限型分量的全局拓扑结构？
• RQ2 曲面上的拓扑Fukaya范畴以何种方式几何实现稳定性条件？
• RQ3 带格的弧与拓扑Fukaya范畴中对象之间的精确对应关系是什么？
• RQ4 二次微分的周期积分如何实现稳定性条件中的中心电荷？
• RQ5 带框架的二次微分模空间与稳定性条件空间的连通分量之间存在何种关系？

主要发现

• 通过HRS倾斜的铺砌及其对偶的交换图，表明稳定性条件空间的有限型分量是可缩的。
• 曲面的导出Fukaya范畴上的稳定性条件空间同构于具有指数型奇点的二次微分模空间。
• 对于带有带符号GMN微分的紧致黎曼曲面，稳定性空间关于自同构群的单位连通分支的商同构于此类微分的模空间。
• 当曲面为带有三个标记点的圆盘时，拓扑Fukaya范畴同构于$A_2$型quiver的有界导出范畴，且稳定性空间同构于该圆盘上二次微分的模空间。
• 带有三角剖分的带标记曲面上二次微分的带框架模空间是单连通的，且同构于相关quiver范畴上稳定性条件的连通分量。
• 拓扑Fukaya范畴中弧与对象之间的对应关系是双射，且Hom空间的维数由交点公式给出，如即将发表的工作[IQZ]所确立。