[论文解读] Topological Transformation Monoids

Zachary Mesyan, James D. Mitchell+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究无限集 $\Omega$ 上全变换半群 $\Omega^\Omega$ 的半群拓扑，证明点集拓扑是其最弱的豪斯多夫半群拓扑，且当 $\Omega$ 可数时，亦为唯一的波兰半群拓扑。此外，若 $|\Omega|$ 具有不可数共尾性，则 $\Omega^\Omega$ 上不存在局部紧致的完美豪斯多夫半群拓扑。

ABSTRACT

We investigate semigroup topologies on the full transformation monoid T(X) of an infinite set X. We show that the standard pointwise topology is the weakest Hausdorff semigroup topology on T(X), show that the pointwise topology is the unique Hausdorff semigroup topology on T(X) that induces the pointwise topology on the group of all permutations of X, and construct |X| distinct Hausdorff semigroup topologies on T(X). In the case where X is countable, we prove that the pointwise topology is the only Polish semigroup topology on T(X). We also show that every separable semigroup topology on T(X) is perfect, describe the compact sets in an arbitrary Hausdorff semigroup topology on T(X), and show that there are no locally compact perfect Hausdorff semigroup topologies on T(X) when |X| has uncountable cofinality.

研究动机与目标

• 确定无限集 $\Omega$ 上全变换半群 $\Omega^\Omega$ 的最弱豪斯多夫半群拓扑。
• 刻画点集拓扑作为唯一诱导对称群 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 上点集拓扑的半群拓扑的唯一性。
• 研究 $\Omega^\Omega$ 上波兰、可分及局部紧致半群拓扑的存在性与结构。
• 分析豪斯多夫半群拓扑中紧致集与拓扑性质（如完美性与共尾性约束）的特性。

提出的方法

• 通过推广盖汉（Gaughan）对对称群结果的结论，证明点集拓扑是 $\Omega^\Omega$ 上最弱的 $T_1$（因此亦为豪斯多夫）半群拓扑。
• 利用任一 $T_1$ 半群拓扑在 $\Omega^\Omega$ 上必须包含点集拓扑的事实，从而可与已知拓扑性质进行比较。
• 应用康托尔-本迪克森定理与共尾性论证，分析 $T_1$ 半群拓扑中的紧致性与局部紧致性。
• 证明在完美 $T_1$ 拓扑中，对于紧致集 $X$，其像集 $\Sigma_\alpha = (\alpha)X$ 必须为有限集，从而在不可数共尾性下导致矛盾。
• 通过特定的拓扑构造，构造出 $|\Omega|$ 个不同的豪斯多夫半群拓扑于 $\Omega^\Omega$ 上。
• 利用半拓扑半群的结构及无处稠密集的性质，推导出对紧致集与拓扑基的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 点集拓扑是否为 $\Omega^\Omega$ 上最弱的豪斯多夫半群拓扑？
• RQ2 点集拓扑是否为 $\Omega^\Omega$ 上唯一诱导对称群 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 上点集拓扑的豪斯多夫半群拓扑？
• RQ3 当 $\Omega$ 可数时，$\Omega^\Omega$ 是否存在除点集拓扑外的其他波兰半群拓扑？
• RQ4 当 $|\Omega|$ 具有不可数共尾性时，$\Omega^\Omega$ 是否可能存在局部紧致的完美豪斯多夫半群拓扑？
• RQ5 在任意豪斯多夫半群拓扑下，$\Omega^\Omega$ 上的紧致集具有何种结构性约束？

主要发现

• 点集拓扑是 $\Omega^\Omega$ 上最弱的 $T_1$（因此亦为豪斯多夫）半群拓扑，且对任意包含秩为1和2的元素的子半群均成立。
• 点集拓扑是 $\Omega^\Omega$ 上唯一诱导对称群 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 上点集拓扑的 $T_1$ 半群拓扑，推广了盖汉对对称群的结果。
• 当 $\Omega$ 可数时，点集拓扑是 $\Omega^\Omega$ 上唯一的波兰半群拓扑，意味着波兰结构的唯一性。
• $\Omega^\Omega$ 上的每个可分半群拓扑都是完美的，即任意非空开集的闭包具有非空内部。
• 在 $\Omega^\Omega$ 的任意豪斯多夫半群拓扑中，紧致集是闭集，且对所有 $\alpha \in \Omega$ 满足 $|\alpha X| < \aleph_0$，即每个点在集合作用下的像为有限集。
• 当 $|\Omega|$ 具有不可数共尾性时，$\Omega^\Omega$ 上不存在局部紧致的完美豪斯多夫半群拓扑，其证明基于像集与共尾性约束之间的矛盾。