[论文解读] Topological transitions in Ising models

Somenath Jalal, Rishabh Khare+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Quantum many-body systems被引用 3

一句话总结

本文通過一維橫場伊辛模型（TFIM）的通用有效哈密頓量，建立了不同維度下臨界伊辛模型之間的全息聯繫，揭示其臨界點處存在由費米面拓撲結構變化與拓撲量子數（如陳數）轉變所標記的利夫希茨相變。該相變透過透爾斯電荷泵浦探測，並由出現的 SU(2) 對稱性與拓撲不變量所識別，突破了金茲堡-朗道-威爾遜範式，涵蓋經典、量子及格點 gauge 理論。

ABSTRACT

The thermal dynamics of the two-dimensional Ising model and quantum dynamics of the one-dimensional transverse-field Ising model (TFIM) are mapped to one another through the transfer-matrix formalism. We show that the fermionised TFIM undergoes a Fermi-surface topology-changing Lifshitz transition at its critical point. We identify the degree of freedom which tracks the Lifshitz transition via changes in topological quantum numbers (e.g., Chern number, Berry phase etc.). An emergent $SU(2)$ symmetry at criticality is observed to lead to a topological quantum number different from that which characterises the ordered phase. The topological transition is also understood via a spectral flow thought-experiment in a Thouless charge pump, revealing the bulk-boundary correspondence across the transition. The duality property of the phases and their entanglement content are studied, revealing a holographic relation with the entanglement at criticality. The effects of a non-zero longitudinal field and interactions that scatter across the singular Fermi surface are treated within the renormalisation group (RG) formalism. The analysis reveals that the critical point of the 1D TFIM and the 1D spin-1/2 Heisenberg chain are connected via a line of $SU(2)$-symmetric theories. We extend our analysis to show that the classical to quantum correspondence links the critical theories of Ising models in various dimensions holographically through the universal effective Hamiltonian that describes the Lifshitz transition of the 1D TFIM. We obtain in this way a unified perspective of transitions in Ising models that lie beyond the traditional Ginzburg-Landau-Wilson paradigm. We discuss the consequences of our results for similar topological transitions observed in classical spin models, topological insulators, superconductors and lattice gauge-field theories which are related to the Ising universality class.

研究动机与目标

• 建立超越金茲堡-朗道-威爾遜範式的伊辛模型相變統一框架。
• 透過譜流與拓撲不變量（如陳數）識別一維橫場伊辛模型（TFIM）中的拓撲轉變。
• 透過一維 TFIM 的通用有效哈密頓量，展示不同維度下臨界理論的全息等價性。
• 探討臨界點處出現的 SU(2) 對稱性與拓撲序的作用，包括糾纏與對偶性質。
• 將結果拓展至經典伊辛模型、拓撲絕緣體與格點 gauge 理論，揭示其共通的拓撲特徵。

提出的方法

• 使用傳遞矩陣形式，將二維經典伊辛模型映射至一維量子 TFIM。
• 對一維 TFIM 進行費米子化，揭示其為馬約拉納費米子的描述，並在臨界點識別費米面拓撲結構的變化。
• 在二維環面上應用透爾斯絕熱電荷泵浦，探測體系-邊界對應關係與異常電荷輸運。
• 運用重整化群（RG）形式，分析縱向場與奇異費米面散射的效應。
• 將陳數與貝里相位等拓撲不變量識別為費米子譜中利夫希茨相變的指標。
• 透過一維 TFIM 的通用有效哈密頓量，建立一維、二維與三維伊辛模型臨界理論之間的全息關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 一維橫場伊辛模型的臨界點如何表現出費米面拓撲結構改變的利夫希茨相變？
• RQ2 哪些拓撲量子數（如陳數、貝里相位）標示此相變？其在有序相與臨界相之間有何差異？
• RQ3 臨界點處出現的 SU(2) 對稱性如何導致與有序相不同的拓撲不變量？
• RQ4 透爾斯電荷泵浦在揭示利夫希茨相變中體系-邊界對應關係時發揮何種作用？
• RQ5 不同維度伊辛模型的臨界理論如何透過一維 TFIM 的通用有效哈密頓量實現全息關聯？

主要发现

• 一維 TFIM 在臨界點經歷利夫希茨相變，其費米子化描述中費米面的拓撲結構發生變化。
• 該相變由拓撲量子數的改變所追蹤，包括臨界點處非零的陳數，與有序相顯著不同。
• 臨界點處出現的 SU(2) 對稱性導致與有序相不同的拓撲不變量，標示新的普適類。
• 透爾斯電荷泵浦揭示了相變中體系-邊界對應關係，其量化電荷輸運與陳數直接關聯。
• 一維 TFIM 的臨界理論透過其通用有效哈密頓量，與二維 TFIM、三維伊辛模型及二維量子伊辛格點規範理論的臨界理論形成全息對應。
• 二維 TFIM 在拓撲與非拓撲超導相之間存在 Weyl 半金屬型利夫希茨相變，另在兩種拓撲超導相之間亦存在涉及無能隙 Weyl 帶狀金屬的相變。