[论文解读] Topologies of Stochastic Markov Models: Computational Aspects

Giorgio Bacci, Giovanni Bacci+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文为随机马尔可夫模型（SMMs）引入了两种行为距离，用于衡量与线性实时规格（以度量时态逻辑（MTL）或确定性时序自动机（DTA）表达）的不相似性。证明了自然变分距离的精确计算是NP难的，但提出了基于Kantorovich的上界逼近方法，在温和的分布假设下可多项式时间计算，从而实现高效的近似模型检测。

ABSTRACT

In this paper we propose two behavioral distances that support approximate reasoning on Stochastic Markov Models (SMMs), that are continuous-time stochastic transition systems where the residence time on each state is described by a generic probability measure on the positive real line. In particular, we study the problem of measuring the behavioral dissimilarity of two SMMs against linear real-time specifications expressed as Metric Temporal Logic (MTL) formulas or Deterministic Timed-Automata (DTA). The most natural choice for such a distance is the one that measures the maximal difference that can be observed comparing two SMMs with respect to their probability of satisfying an arbitrary specification. We show that computing this metric is NP-hard. In addition, we show that any algorithm that approximates the distance within a certain absolute error, depending on the size of the SMMs, is NP-hard. Nevertheless, we introduce an alternative distance, based on the Kantorovich metric, that is an over-approximation of the former and we show that, under mild assumptions on the residence time distributions, it can be computed in polynomial time.

研究动机与目标

• 为支持实时规格下近似推理的连续时间随机系统定义行为度量。
• 分析在MTL和DTA规格下，SMMs中行为差异度量的计算复杂度。
• 开发一种精确变分距离的可处理上界逼近，可在多项式时间内计算。
• 建立使用1-RDTA规格近似模型检测结果的理论基础。
• 将离散时间马尔可夫链中的不动点与线性规划技术扩展至连续时间SMMs。

提出的方法

• 引入具有正实轴上通用驻留时间分布的随机马尔可夫模型（SMMs），推广了连续时间MCs（CTMCs）和离散时间MCs。
• 定义两种伪度量——MTL和DTA变分距离，用于衡量所有线性实时规格下满足概率最大差异。
• 证明精确变分距离在MTL和DTA规格下一致，并由1-RDTA规格完全刻画。
• 提出基于Kantorovich的不动点距离，作为精确变分距离的上界逼近。
• 通过椭球法将Kantorovich距离的计算问题转化为具有多项式时间分离 oracle 的线性规划问题。
• 利用运输多面体和顶点枚举技术，高效计算Kantorovich公式中的最优耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 SMMs之间行为变分距离的精确计算是否为NP难？
• RQ2 能否在多项式时间内以固定绝对误差近似变分距离？
• RQ3 基于Kantorovich的距离是否能提供精确变分距离的可处理上界逼近？
• RQ4 1-RDTA规格能否近似σ代数中由MTL或DTA规格生成的任意可测时序路径集合？
• RQ5 在何种分布假设下，Kantorovich距离可多项式时间计算？

主要发现

• 精确MTL和DTA变分距离的计算是NP难的，即使在固定绝对误差范围内，通过从最大团问题（Max Clique）的归约可证明。
• MTL和DTA规格下的变分距离一致，且完全由1-RDTA规格决定，后者在生成的σ代数中是稠密的。
• 基于Kantorovich的不动点距离是精确变分距离的上界逼近，且可通过椭球法在多项式时间内计算。
• Kantorovich距离的线性规划公式具有基于求解运输问题的多项式时间分离 oracle。
• 该方法在驻留时间分布的温和假设下，将离散时间MCs中的不动点双语相似性技术扩展至连续时间SMMs。
• 所提出的方法通过利用单时钟DTA的高效算法，实现了对CTMCs的高效近似模型检测。