[论文解读] Topologies on the group of homeomorphisms of a Cantor set

Sergey Bezuglyi, A. H. Dooley+1 more|ArXiv.org|Oct 23, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文研究了康托集上同胚群的均匀拓扑与弱拓扑，证明在弱拓扑下，极小同胚集合的闭包等于平移同胚（odometer）集合的闭包，且在均匀拓扑下，每个非周期同胚均属于平移同胚集合的闭包。结果推广了Rokhlin引理的拓扑类比，并通过闭集行为刻画动力性质。

ABSTRACT

Let $Homeo(Ω)$ be the group of all homeomorphisms of a Cantor set $Ω$. We study topological properties of $Homeo(Ω)$ and its subsets with respect to the uniform $(τ)$ and weak $(τ_w)$ topologies. The classes of odometers and periodic, aperiodic, minimal, rank 1 homeomorphisms are considered and the closures of those classes in $τ$ and $τ_w$ are found.

研究动机与目标

• 研究康托集 $\Omega$ 上同胚群 $Homeo(\Omega)$ 在均匀拓扑 ($\tau$) 与弱拓扑 ($\tau_w$) 下的拓扑性质。
• 确定关键动力类——周期、非周期、极小、拓扑传递、秩1及平移同胚——在 $\tau$ 与 $\tau_w$ 下的闭包。
• 在两种拓扑下，为极小与非周期同胚建立Rokhlin引理的拓扑类比。
• 通过闭集上的动力条件刻画极小同胚在 $\tau_w$ 拓扑下的闭包。

提出的方法

• 将均匀拓扑 $\tau$ 定义为 $Homeo(\Omega)$ 上的一致收敛拓扑，将弱拓扑 $\tau_w$ 定义为由集合 $W(T;F_1,\dots,F_k) = \{S \in Homeo(\Omega) \mid SF_i = TF_i \text{ 对所有 } i\}$ 生成的拓扑，其中 $F_i$ 为闭开集。
• 利用 $\tau_w$ 与闭开集上一致收敛拓扑等价的事实，证明其为零维波兰空间。
• 对非周期同胚应用拓扑版本的Rokhlin引理，构造任意高度的有限闭开 $T$-塔，并实现测度逼近。
• 构造与 $T$ 在大块闭开集上一致的逼近同胚 $S$，并在剩余部分为周期或平移同胚形式，确保 $S$ 属于 $T$ 的 $\tau$-邻域。
• 证明每个非周期 $T$ 均可在 $\tau$ 拓扑下被平移同胚逼近，方法为细化塔结构并利用 $\mu_i$-测度控制基集。
• 通过条件刻画：对任意非平凡闭开集 $F$，均有 $TF \setminus F$ 与 $F \setminus TF$ 非空，实现 $\tau_w$-闭包中极小同胚的特征化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $Homeo(\Omega)$ 上的均匀与弱拓扑下，周期、非周期、极小与秩1同胚类的闭包是什么？
• RQ2 在 $Homeo(\Omega)$ 上的均匀与弱拓扑如何与康托集的拓扑结构相互关联？
• RQ3 非周期同胚是否可在均匀拓扑下被平移同胚逼近？
• RQ4 何种动力条件可刻画极小同胚集合在 $\tau_w$ 拓扑下的闭包？
• RQ5 在弱拓扑 $\tau_w$ 下，逐点周期同胚集合是否在 $Homeo(\Omega)$ 中稠密？

主要发现

• 在 $Homeo(\Omega)$ 中，极小同胚集合在 $\tau_w$ 拓扑下的闭包等于平移同胚集合在 $\tau_w$ 拓扑下的闭包。
• 在 $\tau$ 拓扑下，平移同胚、秩1同胚与极小同胚集合的闭包均等于非周期同胚集合。
• 每个非周期同胚均属于平移同胚集合在 $\tau$ 拓扑下的闭包，表明平移同胚在非周期集合中 $\tau$-稠密。
• 同胚 $T$ 属于极小同胚集合在 $\tau_w$ 拓扑下的闭包，当且仅当对任意非平凡闭开集 $F$，均有 $TF \setminus F$ 与 $F \setminus TF$ 非空。
• 在 $Homeo(\Omega)$ 上，弱拓扑 $\tau_w$ 为零维波兰空间，且与闭开集一致性的生成拓扑一致。
• 在弱拓扑 $\tau_w$ 下，逐点周期同胚集合在 $Homeo(\Omega)$ 中不稠密。