[论文解读] Topology and arithmetic of resultants, I: spaces of rational maps

Benson Farb, Jesse Wolfson|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文通过分析有理映射空间和射影空间中度d的有理曲线的模空间，建立了拓扑、算术与代数几何之间的深刻联系。利用平展上同调、格罗滕迪克环计算以及超平面排列的组合拓扑，证明了在特征零情况下，这些空间的动机与点计数一致，且其ℓ进上同调群作为伽罗瓦表示同构，从而对塞加尔、瓦西列夫以及科恩–科恩–曼–米尔格拉姆的经典拓扑结果进行了精化。

ABSTRACT

We consider the interplay of point counts, singular cohomology, étale cohomology, eigenvalues of the Frobenius and the Grothendieck ring of varieties for two families of varieties: spaces of rational maps and moduli spaces of marked, degree $d$ rational curves in $\mathbb{P}^n$. We deduce as special cases algebro-geometric and arithmetic refinements of topological computations of Segal, Cohen--Cohen--Mann--Milgram, Vassiliev and others.

研究动机与目标

• 通过奇异上同调、平展上同调与有限域上的点计数三种视角，统一代数簇的拓扑定理与算术及几何不变量。
• 通过将塞加尔、科恩–科恩–曼–米尔格拉姆及瓦西列夫的经典上同调计算提升至代数几何与算术设定，实现精化。
• 建立有理映射空间与有理曲线模空间的紧支撑ℓ进上同调之间的精确同构，证明其携带同构的伽罗瓦表示。
• 计算在有限域与特征零下，有理映射空间及P^n中度d有理曲线模空间的动机、贝蒂数、点计数与权重滤子。

提出的方法

• 使用格罗滕迪克环计算有理映射空间的动机，证明在特征零下有 [Poly_d,m^n] = L^{dm} - L^{(d-n)m+1}。
• 应用比约纳–埃克达尔关于线性子空间排列余集的ℓ进上同调理论，计算平展上同调与弗罗贝尼乌斯特征值。
• 利用库恩斯同构与庞加莱对偶性，分解配置空间与有理映射的纤维积的上同调。
• 利用ℓ进上同调与奇异上同调之间的比较定理，将算术数据与复数域上的拓扑不变量关联。
• 利用配置空间中对角线排列的组合结构与基域无关的性质，实现统一的上同调计算。
• 通过塞尔谱序列的递归纤维化论证，计算C − {0,1}上配置空间的贝蒂数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征域上，有理映射空间 Rat_d^* 与空间 Poly_d(n+1),1^{n+1} 在格罗滕迪克环中是否具有同构的动机？
• RQ2 在有限域上，Rat_d^* 与 Poly_d(n+1),1^{n+1} 的ℓ进上同调之间观察到的同构是否存在超越拓扑等价的代数解释？
• RQ3 在复数域上，Rat_d^* 与 Poly_d(n+1),1^{n+1} 之间的拓扑同伦等价能否在特征零或正特征下提升为代数簇的同构？
• RQ4 当它们不构同构时，哪些不变量可区分 Rat_d^* 与 Poly_d(n+1),1^{n+1}，特别是当 n ≥ 2 时？
• RQ5 模空间中度d有理曲线的平展上同调上弗罗贝尼乌斯的权重如何与复点的拓扑相关？

主要发现

• 在特征零的域上，格罗滕迪克环中 Poly_d,m^n 的动机为 [Poly_d,m^n] = L^{dm} - L^{(d-n)m+1}，其中 L 为莱夫谢茨动机。
• 对任意素幂 q，有 |Poly_d,m^n(F_q)| = q^{dm} - q^{(d-n)m+1}。
• Poly_d,m^n(C) 的贝蒂数满足 b_0 = 1 且 b_{2nm-3} = 1，其余贝蒂数均为零。
• 存在格拉斯向量空间同构：H^*_c(Poly_d,m^n(C); C) ≅ H^*_et,c(Poly_d,m^n/F_q; Q_ℓ) ⊗_{Q_ℓ} C。
• 平展上同调群携带伽罗瓦表示，其权重为：H^i_et,c(Poly_d,m^n/F_q; Q_ℓ) 在度 2(d-n)m + 3 处为 Q_ℓ((n-d)m - 1)，在度 2dm 处为 Q_ℓ(-dm)。
• 当 m ≥ 3 时，模空间 M^*_0,m(P^n,d) 同构于 PConf_{m-3}(A^1 - {0,1}) × Rat_d^*(P^1, P^n)，其动机在格罗滕迪克环中为 [PConf_{m-3}(A^1 - {0,1})] · [Rat_d^*(P^1, P^n)]。