[论文解读] Topology and combinatorics of 'unavoidable complexes'

Duško Jojić, Siniša T. Vrećica+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

本文建立了 r-不可避免复形与 ℝᵈ 中全局 r-不可嵌入复形之间的拓扑与组合联系，表明 r-不可避免复形的连乘（join）可生成全局 r-不可嵌入复形。关键贡献是定理 4.6，该定理由 Schild、Grünbaum 等人的结果统一并推广，通过单纯复形结构将划分数与拓扑型 Tverberg 交集性质联系起来。

ABSTRACT

The partition number $\pi(K)$ of a simplicial complex $K\subset 2^{[m]}$ is the minimum integer $ u$ such that for each partition $A_1\uplus\ldots\uplus A_ u = [m]$ of $[m]$ at least one of the sets $A_i$ is in $K$. A complex $K$ is $r$-unavoidable if $\pi(K)\leq r$. We say that a complex $K$ is globally $r$-non-embeddable in $\mathbb{R}^d$ if for each continuous map $f: | K| ightarrow \mathbb{R}^d$ there exist $r$ vertex disjoint faces $\sigma_1,\ldots, \sigma_r$ of $| K|$ such that $f(\sigma_1)\cap\ldots\cap f(\sigma_r) eq\emptyset$. Motivated by the problems of Tverberg-Van Kampen-Flores type we prove several results (Theorems 3.6, 3.9, 4.6) which link together the combinatorics and topology of these two classes of complexes. One of our central observations (Theorem 4.6), summarizing and extending results of G. Schild, B. Gr\{u}nbaum and many others, is that interesting examples of (globally) $r$-non-embeddable complexes can be found among the joins $K = K_1\ast\ldots\ast K_s$ of $r$-unavoidable complexes.

研究动机与目标

• 理解 ℝᵈ 中 r-不可避免单纯复形的拓扑含义。
• 通过连接复形的组合与拓扑性质，解决 Tverberg-Van Kampen-Flores 型问题。
• 利用组合划分性质刻画单纯复形在 ℝᵈ 中全局 r-不可嵌入的条件。
• 通过连乘构造统一并扩展关于不可避免复形与不可嵌入性的先前结果。

提出的方法

• 将划分数 π(K) 定义为最小的 u，使得 [m] 的任意 u-划分中必有一部分属于 K。
• 将 r-不可避免复形定义为满足 π(K) ≤ r 的复形。
• 将全局 r-不可嵌入性定义为：在任意连续映射到 ℝᵈ 下，均存在 r 个互不相交的面，其像具有公共交集。
• 使用连乘构造 K = K₁⁎…⁎Kₛ，从 r-不可避免的分量生成全局 r-不可嵌入复形。
• 证明定理 4.6，表明若每个 Kᵢ 均为 r-不可避免，则其连乘在 ℝᵈ 中为全局 r-不可嵌入。
• 应用 Schild、Grünbaum 等人的已知结果以支持并扩展主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单纯复形 K 上，何种组合条件可使其在 ℝᵈ 中全局 r-不可嵌入？
• RQ2 划分数 π(K) 与复形 K 的拓扑不可嵌入性质之间有何关系？
• RQ3 r-不可避免复形的连乘是否可在 ℝᵈ 中生成全局 r-不可嵌入复形？
• RQ4 不相交面配置在连续映射下强制产生拓扑交集的作用是什么？
• RQ5 关于不可避免复形与 Tverberg 型定理的已知结果，如何在连乘构造的框架下统一？

主要发现

• 划分数 π(K) 表征了在 [m] 的任意划分中，保证至少有一部分属于 K 所需的最少部分数。
• 复形 K 为 r-不可避免当且仅当 π(K) ≤ r，提供了不可避免配置的组合判别准则。
• s 个 r-不可避免复形 K₁⁎…⁎Kₛ 的连乘在 ℝᵈ 中为全局 r-不可嵌入，此结论由定理 4.6 确立。
• 该结果推广并统一了 Schild、Grünbaum 等人关于不可避免复形与 Tverberg 型交集的早期发现。
• 通过连乘构造提供了一种系统化方法，用于生成全局 r-不可嵌入复形的复杂例子。
• 拓扑不可嵌入性由 r 个互不相交的面的存在性保证，这些面在任意连续映射到 ℝᵈ 下，其像必有公共交集。