[论文解读] Topology and geometry of the canonical action of $T^4$ on the complex Grassmannian $G_{4,2}$ and the complex projective space $CP^{5}$

Victor Matveevich Buchstaber, Svjetlana Terzić|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 16

一句话总结

本文研究了复格拉斯曼流形 $G_{4,2}$ 和复射影空间 $\mathbb{C}P^5$ 上标准 $T^4$-作用的拓扑与几何性质，证明轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 同胚于具有非光滑诱导结构的 $S^5$，而 $\mathbb{C}P^5/T^4$ 同胚于 $\mathbb{C}P^2 * S^2$。这些结果通过 $\mathbb{Z}_2^4$-作用推广至实情形，得到 $G_{4,2}(\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2^4 \simeq S^4$ 和 $\mathbb{R}P^5/\mathbb{Z}_2^4 \simeq \mathbb{R}P^2 * S^2$。研究方法包括极大化映射、普吕克坐标以及 торic 拓扑，用于分析轨道结构与奇点。

ABSTRACT

We consider the canonical action of the compact torus $T^4$ on the Grassmann manifold $G_{4,2}$ and prove that the orbit space $G_{4,2}/T^4$ is homeomorphic to the sphere $S^5$. We prove that the induced differentiable structure on $S^5$ is not the smooth one and describe the smooth and the singular points. We also consider the action of $T^4$ on $CP^5$ induced by the composition of the second symmetric power $T^4\subset T^6$ and the standard action of $T^6$ on $CP^5$ and prove that the orbit space $CP^5/T^4$ is homeomorphic to the join $CP^2\ast S^2$. The Plücker embedding $G_{4,2}\subset CP^5$ is equivariant for these actions and induces embedding $CP^1\ast S^2 \subset CP^2 \ast S^2$ for the standard embedding $CP^1 \subset CP^2$. All our constructions are compatible with the involution given by the complex conjugation and give the corresponding results for the real Grassmannian $G_{4,2}(R)$ and the real projective space $RP^5$ for the action of the group $Z _{2}^{4}$. We prove that the orbit space $G_{4,2}(R)/Z _{2}^{4}$ is homeomorphic to the sphere $S^4$ and that the orbit space $RP^{5}/Z _{2}^{4}$ is homeomorphic to the join $RP^2\ast S^2$.

研究动机与目标

• 通过 toric 与辛几何理解 $G_{4,2}$ 上标准 $T^4$-作用的轨道空间结构。
• 分析轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 上诱导的微分结构，识别光滑点与奇异点。
• 将分析扩展至由 $T^4 \subset T^6$ 的第二对称幂诱导的 $\mathbb{C}P^5$ 上的 $T^4$-作用，确定其轨道空间结构。
• 通过 $\mathbb{Z}_2^4$ 在 $G_{4,2}(\mathbb{R})$ 和 $\mathbb{R}P^5$ 上的作用建立这些结果的实类比，证明其同胚于 $S^4$ 和 $\mathbb{R}P^2 * S^2$。
• 在 $(2n,k)$-流形与 toric 拓扑的背景下，研究分层结构（特别是格拉斯曼单纯形）上截面的存在性。

提出的方法

• 通过 $G_{4,2}$ 到 $\mathbb{C}P^5$ 的普吕克嵌入定义一个极大化映射 $\mu: G_{4,2} \to \mathbb{R}^4$，其像为单纯形 $\Delta_{4,2}$，即一个正八面体。
• 使用标准极大化映射 $\nu: G_{4,2} \to \mathbb{R}^4$，由矩阵 $F(A) = A(A^*)^T$ 的对角元定义，证明其与普吕克极大化映射一致。
• 利用 $(\mathbb{C}^*)^4$ 在 $G_{4,2}$ 上的作用分析轨道闭包与层结构，特别是主层 $W$ 及其补集。
• 通过 $\mathbb{R}^4$ 上的通用线性泛函 $h$ 构造一个莫尔斯函数 $h \circ \mu$，证明其临界点与 $T^4$-不动点重合。
• 通过胞腔分解与极大化映射像及轨道类型的拓扑分析，证明轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 同胚于 $S^5$。
• 通过由对称幂构造诱导的 $T^4$-作用，将轨道空间 $\mathbb{C}P^5/T^4$ 识别为连枝 $\mathbb{C}P^2 * S^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准 $T^4$-作用下，轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 的拓扑结构是什么？
• RQ2 轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 上诱导的微分结构是否光滑？若否，奇异点位于何处？
• RQ3 由 $T^4 \subset T^6$ 的第二对称幂诱导的 $T^4$-作用对 $\mathbb{C}P^5$ 的轨道空间结构有何影响？
• RQ4 普吕克嵌入 $G_{4,2} \subset \mathbb{C}P^5$ 与两个流形的轨道空间结构之间有何关系？
• RQ5 在 $G_{4,2}(\mathbb{R})$ 和 $\mathbb{R}P^5$ 上，$\mathbb{Z}_2^4$-作用的实类比结果是什么？

主要发现

• 轨道空间 $G_{4,2}/T^4$ 同胚于 5-球 $S^5$，但诱导的微分结构并非标准光滑结构。
• $G_{4,2}/T^4$ 上的光滑点与奇异点被显式描述，奇异点源于环作用中非平凡的稳定子。
• 轨道空间 $\mathbb{C}P^5/T^4$ 同胚于连枝 $\mathbb{C}P^2 * S^2$，该结果由第二对称幂诱导的 $T^4$-作用导出。
• 普吕克嵌入 $G_{4,2} \subset \mathbb{C}P^5$ 是 $T^4$-等变的，并诱导出嵌入 $\mathbb{C}P^1 * S^2 \subset \mathbb{C}P^2 * S^2$。
• 在实情形下，轨道空间 $G_{4,2}(\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2^4$ 同胚于 $S^4$，且 $\mathbb{R}P^5/\mathbb{Z}_2^4$ 同胚于 $\mathbb{R}P^2 * S^2$，其奇异结构分析具有类似性质。
• 极大化映射 $\mu: G_{4,2} \to \mathbb{R}^4$ 与由矩阵 $F(A) = A(A^*)^T$ 定义的对角映射 $\nu$ 一致，确认其为标准形式。