[论文解读] Topology and Turbulence

R. M. Kiehn|ArXiv.org|Feb 2, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用 12

一句话总结

本文利用微分形式理论提出了一种流体流动的拓扑分类方法，基于Cartan的微分形式理论，通过作用1-形式的Pfaff维数定义湍流：势流和流线流为Pfaff维数1–2（连通拓扑），混沌流为Pfaff维数3（不连通），湍流为Pfaff维数4（不连通Cartan拓扑）。关键结果表明，湍流的产生需要不连续过程（如激波、切向间断），而衰减可为连续且不可逆过程，Navier-Stokes方程通过4维不可逆解描述后者。

ABSTRACT

Over a given regular domain of independent variables {x,y,z,t}, every covariant vector field of flow can be constructed in terms a differential 1-form of Action. The associated Cartan topology permits the definition of four basic topological equivalence classes of flows based on the Pfaff dimension of the 1-form of Action. Potential flows or streamline processes are generated by an Action 1-form of Pfaff dimension 1 and 2, respectively. Chaotic flows must be associated with domains of Pfaff dimension 3 or more. Turbulent flows are associated with domains of Pfaff dimension 4. It will be demonstrated that the Navier-Stokes equations are related to Action 1-forms of Pfaff dimension 4. The Cartan Topology is a disconnected topology if the Pfaff dimension is greater than 2. This fact implies that the creation of turbulence (a state of Pfaff dimension 4 and a disconnected Cartan topology) from a streamline flow (a state of Pfaff dimension 2 and a connected topology) can take place only by discontinuous processes which induce shocks and tangential discontinuities. On the otherhand, the decay of turbulence can be described by continuous, but irreversible, processes. Numerical procedures that force continuity of slope and value cannot in principle describe the creation of turbulence, but such techniques of forced continuity can be used to describe the decay of turbulence.

研究动机与目标

• 为了解决流体力学中尽管直观可识别但缺乏精确数学定义的湍流问题。
• 使用拓扑不变量而非几何或统计方法重新表述向湍流的转变。
• 证明湍流对应于4维Pfaff维数和不连通Cartan拓扑，暗示其形成过程为不连续。
• 表明Navier-Stokes方程可通过连续、不可逆的4维解描述湍流的衰减。
• 引入拓扑扭量流和螺旋度密度作为流体力学中此前被忽视但具有物理意义的量。

提出的方法

• 本文从作用1-形式构造流的协变矢量场，使用Cartan的外微分演算。
• 根据作用1-形式的Pfaff维数对流动进行分类：1–2为势流/流线流，3为混沌流，4为湍流。
• Navier-Stokes方程被导出为作用1-形式及其外微分的外微分与乘积所构成的PDE系统。
• 使用2-形式F = dA和3-形式H = A ∧ dA定义螺旋度（拓扑扭量）及其守恒律，其中拓扑宇称K = dH的异常项为-2(a·ω)。
• 将扭量流T表示为螺旋度密度h、速度v、涡度ω和粘性系数ν的函数，揭示即使在Euler流中该流也非零。
• 证明拓扑宇称K = 2ν(ω·curl ω)dx∧dy∧dz∧dt与欧拉示性数χ成正比，当K消失时χ = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用拓扑不变量而非统计或几何标准来精确定义湍流？
• RQ2 不连续性在湍流形成中的作用是什么？它与Navier-Stokes方程有何关联？
• RQ3 为何标准数值方法无法捕捉湍流的形成？其背后的拓扑原因是什么？
• RQ4 螺旋度密度与扭量流如何与不可逆、粘性流体动力学相关联？
• RQ5 混沌理论中的奇异吸引子是否存在与Pfaff维数4所定义的湍流拓扑状态等价？

主要发现

• 湍流流动具有Pfaff维数4和不连通Cartan拓扑，表明其形成过程不可能是连续的，必须涉及激波或切向间断。
• Navier-Stokes方程源自一个4维、不可逆、受拓扑约束的作用1-形式，其解存在于Pfaff维数4的情形。
• 拓扑扭量流T即使在无粘性（Euler）流中依然存在，表明其为流体力学中此前被忽视的物理量。
• 螺旋度-扭量流守恒律仅在异常项-2(a·ω)消失时成立，这发生在欧拉示性数χ = 0时。
• 欧拉示性数χ与拓扑宇称4-形式K的积分成正比，当流体处于最小能量耗散状态时χ为零。
• 强制保持斜率与值连续的数值方法无法描述湍流的形成，但可通过对连续、不可逆解的模拟实现湍流衰减的建模。