[论文解读] Topology change in classical and quantum gravity

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文研究了经典与量子引力中的拓扑变化，表明尽管洛伦兹广义相对论由于因果性破坏和旋量障碍而禁止拓扑变化，但通过路径积分的欧几里得量子引力允许通过实隧穿几何实现拓扑变化——这些是复数经典解，可介导如黑洞对产生等时空转变，且基于反射正定性和格林函数的量子化框架具有一致性。

ABSTRACT

In these two lectures I describe the difficulties one encounters when trying to construct a framework in which to describe topology change in classical general relativity where one sticks to the assumption of an everywhere non-singular Lorentzian metric and how these difficulties can be circumvented in the Euclidean approach to quantum gravity.

研究动机与目标

• 分析经典洛伦兹广义相对论中拓扑变化的运动学与因果障碍，特别是非时间定向性与闭合类时曲线。
• 识别洛伦兹时空中拓扑变化的新障碍：在经历拓扑变化的流形上无法定义两分量旋量。
• 证明在欧几里得量子引力中，通过称为实隧穿几何的复数经典路径，拓扑变化在运动学和动力学上均被允许。
• 基于欧几里得路径积分方法，利用反射正定性和格林函数，为这些实隧穿几何周围的涨落建立量子化框架。
• 通过等距群作用，在对称时空（如德西特空间）中建立物理希尔伯特空间和真空态。

提出的方法

• 将拓扑变化形式化为洛伦兹cobordism：一个具有初始与最终3-流形边界的紧致4-流形，配备非奇异洛伦兹度量。
• 在欧几里得量子引力中应用哈特尔-孝普和吉布斯的瞬子方法，通过黎曼度量上的路径积分描述量子跃迁。
• 引入实隧穿几何作为路径积分中描述拓扑变化的复数经典解，例如黑洞对的产生。
• 在加倍流形 $ 2M_R $ 上使用格林函数 $ G(x,y) $、$ G_D $ 和 $ G_N $ 定义内积，并确保范数 $ \|f^+(x)\|^2 $ 的正定性。
• 应用狄利克雷原理和算子比较（$ G_D \leq G $）证明范数的正定性，从而确保量子力学解释的一致性。
• 应用反射正定性构造物理希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $，其真空态在欧几里得几何解析延拓的等距群 $ K_L $ 作用下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全局非奇异洛伦兹度量的假设下，经典广义相对论中的时空拓扑是否可能发生改变？
• RQ2 洛伦兹时空中拓扑变化的因果与几何障碍是什么，特别是时间定向性与旋量结构方面？
• RQ3 鉴于洛伦兹形式化中的困难，如何一致地描述量子引力中的拓扑变化？
• RQ4 实隧穿几何在欧几里得路径积分方法中如何介导拓扑变化？
• RQ5 如何一致地对实隧穿几何周围的量子涨落进行量化？其结果的物理希尔伯特空间与真空态是什么？

主要发现

• 经典洛伦兹引力中的拓扑变化由于非时间定向性和闭合类时曲线的出现而在运动学上被禁止。
• 更深层次的障碍在于：即使允许闭合类时曲线，也无法在经历拓扑变化的流形上一致地定义两分量旋量。
• 在欧几里得量子引力中，拓扑变化被允许，且由实隧穿几何介导——这些是路径积分中的复数经典解，可描述如黑洞对产生等过程。
• 通过格林函数比较与狄利克雷原理，证明了范数 $ \|f^+(x)\|^2 $ 的正定性，从而确保物理希尔伯特空间中内积的一致性。
• 通过反射正定性构造了物理希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $，其真空态在等距群 $ K_L $ 作用下保持不变，从而在对称情况下产生德西特不变态。
• 该框架为隧穿后产生的量子态提供了自然候选，与无边界提案一致，并适用于虫洞或宇宙对产生等过程。