[论文解读] Topology Change in Classical General Relativity

Arvind Borde|ArXiv.org|Jun 30, 1994

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 30

一句话总结

本文通过分析初始时空超曲面具有某一拓扑结构、并通过因果紧致插值时空与最终超曲面具有不同拓扑结构的时空，研究了经典广义相对论中的拓扑变化。研究结果表明，尽管在非奇异洛伦兹度量下拓扑变化在运动学上是可能的，但除非初始或最终超曲面是连通的，否则会出现因果性破坏；在 ≥3 维情况下，此类时空无法满足具有物理合理源的爱因斯坦方程，即使存在奇点，也对拓扑变化施加了强烈的动力学障碍。

ABSTRACT

This paper clarifies some aspects of Lorentzian topology change, and it extends to a wider class of spacetimes previous results of Geroch and Tipler that show that topology change is only to be had at a price. The scenarios studied here are ones in which an initial spacelike surface is joined by a connected ``interpolating spacetime'' to a final spacelike surface, possibly of different topology. The interpolating spacetime is required to obey a condition called causal compactness, a condition satisfied in a very wide range of situations. No assumption is made about the dimension of spacetime. First, it is stressed that topology change is kinematically possible; i.e., if a field equation is not imposed, it is possible to construct topology-changing spacetimes with non-singular Lorentz metrics. Simple 2-dimensional examples of this are shown. Next, it is shown that there are problems in such spacetimes: Geroch's closed-universe argument is applied to causally compact spacetimes to show that even in this wider class of spacetimes there are causality violations associated with topology change. It follows from this result that there will be causality violations if the initial (or the final) surface is not connected, even when there is no topology change. Further, it is shown that in dimensions $\geq 3$ causally compact topology-changing spacetimes cannot satisfy Einstein's equation (with a reasonable source); i.e., there are severe dynamical obstructions to topology change. This result extends a previous one due to Tipler. Like Tipler's result, it makes no assumptions about geodesic completeness; i.e., it does not permit topology change even at the price of singularities (of the standard incomplete-geodesic variety). Brief discussions are also given of ways in which the results of this paper might be circumvented.

研究动机与目标

• 阐明在不违反因果性或能量条件的前提下，经典广义相对论中拓扑变化发生的条件。
• 将Geroch和Tipler关于因果性和动力学障碍的结果推广到更广泛的时空类，包括不假设测地线完备性的时空。
• 研究在维度 ≥3 的情况下，拓扑变化在爱因斯坦方程与物理合理源共同作用下是否具有动力学可行性。
• 评估替代机制（如退化度量或非叶状时空）在保持因果结构和几何一致性的同时，是否可作为实现拓扑变化的可行途径。

提出的方法

• 该研究采用一种框架，即初始类空超曲面通过一个连通的、因果紧致的插值时空与最终类空超曲面相连，从而实现拓扑变化。
• 将因果紧致性作为插值时空的条件，确保因果曲线不会逃逸至无穷远，且时空结构保持良好行为。
• 将Geroch的封闭宇宙论证应用于因果紧致时空，证明除非初始或最终超曲面是连通的，否则拓扑变化将导致因果性破坏。
• 在 ≥3 维情况下分析爱因斯坦场方程，表明满足因果紧致性的拓扑变化时空无法支持满足非负能量密度的物理合理源，从而违反曲率或能量条件。
• 考虑替代方法，如在孤立点处允许退化度量，并讨论其对因果性和曲率计算的影响。
• 评估通过非测地线完备性、共形变换或修改能量条件来规避障碍的可能性，但发现这些途径或不足，或缺乏物理合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典广义相对论中，拓扑变化是否可以在不违反因果性的情况下发生？其运动学上可能的条件是什么？
• RQ2 即使在无奇点的情况下，具有拓扑变化的因果紧致时空是否仍会导致因果性破坏？
• RQ3 在维度 ≥3 的时空中，是否存在阻止爱因斯坦方程在物理合理源下成立的拓扑变化动力学障碍？
• RQ4 退化度量或非叶状时空是否可作为保持因果结构和几何一致性的拓扑变化可行机制？
• RQ5 Geroch和Tipler的结果在多大程度上可推广至更广泛的时空类，特别是那些不要求测地线完备性的时空？

主要发现

• 在经典广义相对论中，拓扑变化在运动学上是可能的：可在连接初始与最终空间拓扑的时空中构造出非奇异洛伦兹度量。
• 在因果紧致时空中，若初始或最终类空超曲面不连通，则即使无拓扑变化，也会出现因果性破坏。
• 在 ≥3 维情况下，满足因果紧致性的拓扑变化时空无法满足具有非负能量密度源的爱因斯坦方程，表明存在强烈的动力学障碍。
• 即使允许奇点（以标准不完备测地线意义理解），该动力学障碍依然存在，意味着即使付出奇点代价，拓扑变化仍被禁止。
• 在减弱曲率或能量条件假设的情况下，结果依然稳健，表明唯有对爱因斯坦方程进行剧烈修改，或使用退化度量，才可能规避这些障碍。
• 退化度量可能为拓扑变化提供可行路径，尽管其会破坏标准因果结构，且需要采用Ashtekar的一阶变量等新形式化方法进行一致处理。