[论文解读] Topology of Blow-ups and Enumerative Geometry

Haibao Duan, Banghe Li|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文为沿具有复法丛的子流形进行的光滑流形的爆破的积分上同调环与总陈类建立了显式公式。利用这些拓扑不变量，本文计算了 $\mathbb{P}^3$ 中完全圆锥曲线与完全二次曲面的上同调环，并严格验证了舒伯特的经典枚举计数：8 个一般二次曲面的切线圆锥曲线有 4,407,296 个，9 个一般二次曲面的切线二次曲面有 666,841,088 个。

ABSTRACT

Let M be the blow--up of a manifold M along a submanifold X. In this paper we present closed formulae for the integral cohomology and the total Chern class of M. As applications we compute the cohomology of the varieties of complete conics and complete quadrices in 3--space, and justify two enumerative results due to Schubert.

研究动机与目标

• 为沿具有复法丛的子流形进行的光滑流形爆破的积分上同调环与总陈类推导一般公式。
• 将这些公式应用于计算 $\mathbb{P}^3$ 中完全圆锥曲线与完全二次曲面的上同调环，这些结果此前尚未确定。
• 为参数空间的特征数提供系统计算方法，使枚举几何中的枚举不变量得以有效评估。
• 从上同调数据出发，严格证明舒伯特关于 $\mathbb{P}^3$ 中与给定数量的一般二次曲面相切的圆锥曲线与二次曲面数量的两个经典枚举结果。

提出的方法

• 通过涉及射影丛与球丛的粘合过程，构造具有复法丛的子流形 $X$ 沿光滑流形 $M$ 的爆破 $\widetilde{M}$。
• 通过爆破几何诱导的划分分析 $\widetilde{M}$ 的切丛，导出其在 $K$-理论中的表示。
• 利用射影丛结构与典范线丛的陈类，推导 $\widetilde{M}$ 的积分上同调环。
• 利用切丛的 $K$-理论分解与分裂原理，计算 $\widetilde{M}$ 的总陈类。
• 将一般公式应用于 $\mathbb{P}^3$ 的具体情形，计算完全圆锥曲线与完全二次曲面的上同调环。
• 通过总陈类的上积计算特征数，从而实现对舒伯特问题解的枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿具有复法丛的子流形进行的流形爆破的积分上同调环是什么？
• RQ2 在一般光滑范畴中，此类爆破的总陈类是什么？
• RQ3 如何显式计算 $\mathbb{P}^3$ 中完全圆锥曲线的上同调？
• RQ4 如何显式计算 $\mathbb{P}^3$ 中完全二次曲面的上同调？
• RQ5 能否从上同调数据中严格推导出舒伯特关于与一般二次曲面相切的圆锥曲线与二次曲面数量的经典枚举计数？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^3$ 中完全圆锥曲线的上同调环被显式表示为 $H^*(\widetilde{M}) \cong \mathbb{Z}[x,y,z]/(x^2 - 2xy + y^2, y^3, z^2 - 2xz + 2yz - 2x^2)$，生成元分别位于度数 2、4 和 6。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 中完全二次曲面的上同调环被显式表示为 $H^*(\widetilde{N}) \cong \mathbb{Z}[u,v,w]/(u^2 - 2uv + v^2, v^3, w^2 - 2uw + 2vw - 2u^2)$，生成元分别位于度数 2、4 和 6。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 中与 8 个一般二次曲面相切的圆锥曲线数量恰好为 4,407,296，其计算为 $H^*(\widetilde{M})$ 中类 $8x + 6y + 2z$ 的 8 次幂的次数。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 中与 9 个一般二次曲面相切的二次曲面数量恰好为 666,841,088，其计算为 $H^*(\widetilde{N})$ 中类 $12u + 6v + 2w$ 的 9 次幂的次数。
• 本文首次完整给出了 $\mathbb{P}^3$ 中完全圆锥曲线与完全二次曲面参数空间的上同调表示，解决了文献中长期存在的空白。
• 结果确认了舒伯特于 1891 年提出的经典枚举计数，使用特征类与交点理论为他的数值提供了现代上同调学上的合理解释。