[论文解读] Topology of complex reflection arrangements

David Bessis|ArXiv.org|Nov 29, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文证明了在复向量空间中，所有良好生成的复反射群的反射超平面的补集是 $K(/pi,1)$ 空间，从而确立了这些群的长期悬而未决的 $K(/pi,1)$ 猜想。通过一种新颖的对偶辫子幺半群构造以及 Lyashko-Looijenga 映射的推广，作者为复化实反射群的情形提供了新的证明，并解决了五个例外复反射群（G24, G27, G29, G33, G34），仅剩 G31 尚未解决。该工作还证明了良好生成群的辫子群是 Garside 群，并确认了若干例外辫子群的猜想性关系式。

ABSTRACT

Let $V$ be a finite dimensional complex vector space and $W\subset \GL(V)$ be a finite complex reflection group. Let $V^{ eg}$ be the complement in $V$ of the reflecting hyperplanes. A classical conjecture predicts that $V^{ eg}$ is a $K(pi,1)$ space. When $W$ is a complexified real reflection group, the conjecture follows from a theorem of Deligne. Our main result validates the conjecture for duality (or, equivalently, well-generated) complex reflection groups. This includes the complexified real case (but our proof is new) and new cases not previously known. We also address a number of questions about $π_1(W\cq V^{ eg})$, the braid group of $W$.

研究动机与目标

• 解决所有良好生成复反射群的 $K(\pi,1)$ 猜想，包括此前未解决的例外情形。
• 为复化实反射群的 $K(\pi,1)$ 性质提供一种独立于 Deligne 原始结果的新证明。
• 证明良好生成复反射群的辫子群是 Garside 群，从而蕴含有利的算法与几何性质。
• 确认例外群 $G_{29}, G_{33}, G_{34}$ 的辫子群的猜想性关系式，此前这些关系式尚不明确。
• 将非交叉划分与 Catalan 数的理论推广至所有良好生成复反射群，推广经典 Coxeter 情形的结果。

提出的方法

• 为良好生成复反射群构造对偶辫子幺半群，推广经典辫子幺半群，并利用群的反射结构。
• 利用 Lyashko-Looijenga 映射，将商轨道丛 $W\backslash\backslash V^{\text{reg}}$ 描述为类型 A 反射轨道丛的分支覆盖，从而实现组合结构的几何上移。
• 通过从基轨道丛拉回墙与画廊，定义 $V^{\text{reg}}$ 的万有覆盖的半代数开覆盖，确保交集为道路连通。
• 证明该覆盖的骨架同伦等价于万有覆盖，利用对偶辫子幺半群的格结构。
• 通过证明对偶辫子幺半群在整除性下构成格，从而确立其为 Garside 么半群，进而推出骨架的单连通性，从而确立 $K(\pi,1)$ 性质。
• 应用所得的拓扑与代数结构，推导出辫子群 $B(W) = \pi_1(W\backslash\backslash V^{\text{reg}})$ 的性质，包括无挠性、字问题与共轭问题的可解性，以及双自动性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有良好生成复反射群（包括例外型 $G_{24}, G_{27}, G_{29}, G_{33}, G_{34}$）的 $K(\pi,1)$ 猜想是否成立？
• RQ2 能否证明良好生成复反射群的辫子群是 Garside 群，其结构性质如何？
• RQ3 $G_{29}, G_{33}, G_{34}$ 辫子群的猜想性关系式是否正确，能否从几何构造中推导出？
• RQ4 对偶辫子幺半群构造如何将经典不变量（如非交叉划分与 Catalan 数）推广至非实复反射群？
• RQ5 对偶辫子幺半群理论能否推广至坏生成群？为保持类似 Garside 的性质，需要哪些修改？

主要发现

• 所有良好生成复反射群的 $V^{\text{reg}}$ 的万有覆盖是单连通的，从而确认了这些群的 $K(\pi,1)$ 猜想。
• 任意不可约良好生成复反射群的辫子群 $B(W)$ 是 Garside 群，意味着其无挠、字问题与共轭问题可解，且为双自动群。
• 所有不可约良好生成复反射群的 $B(W)$ 的中心均为循环群，证实了 Broué-Malle-Rouquier 的一个猜想。
• 文献 [7] 中给出的 $B(G_{29})$, $B(G_{33})$, $B(G_{34})$ 的猜想性关系式是正确的，提供了这些群的首个已知关系式。
• 类型 $W$ 的广义非交叉划分格同构于对偶辫子幺半群的除数格，其 Poincaré 多项式与公式 $\sum_{s\in S} t^{l(s)} = \prod_{i=1}^n \frac{d_i + N h}{d_i}$ 对于长度为 $N$ 的弱链一致。
• 对于例外群，非交叉划分的数量（Catalan 数）为 $\operatorname{Cat}(W) = \prod_{i=1}^n \frac{d_i + h}{d_i}$，其值从 $G_{24}$ 的 30 到 $G_{34}$ 的 1584 不等，且集合 $R_c$ 中反射的数量与 Poincaré 多项式中 $t$ 的系数一致。