[论文解读] Topology of probability measure spaces, II

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文研究了局部凸空间上Radon概率测度的质心映射，证明其连续性当且仅当其基集有界。本文证明了Radon概率测度的函子 $ς$ 在度量空间范畴上是单子的，并将函子 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 扩展到有界度量空间和一致空间范畴，分析了其度量化性质与一致连续性。

ABSTRACT

This paper is a follow-up to the author's work "Topology of probability measure space, I" devoted to investigation of the functors $\hat P$ and $P_τ$ of spaces of probability $τ$-smooth and Radon measures. In this part, we study the barycenter map for spaces of Radon probability measures. The obtained results are applied to show that the functor $\hat P$ is monadic in the category of metrizable spaces. Also we show that the functors $\hat P$ and $P_τ$ admit liftings to the category $BMetr$ of bounded metric spaces and also to the category $Unif$ of uniform spaces, and investigate properties of those liftings.

研究动机与目标

• 研究Radon概率测度空间的质心映射及其连续性性质。
• 通过质心映射证明函子 $\hat{P}$ 在度量空间范畴中是单子的。
• 将函子 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 扩展到有界度量空间范畴 ($\mathcal{BM}etr$) 和一致空间范畴 ($\mathcal{U}nif$)。
• 分析在 $\mathcal{BM}etr$ 和 $\mathcal{U}nif$ 中提升函子的度量化与一致连续性。
• 解决关于 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 是否保持完备性类型性质的开放问题，特别是与Dieudonné和Hewitt完备性的关系。

提出的方法

• 为局部凸空间 $E$ 的弱有界子集 $X$ 定义质心映射 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$，其中对任意 $f \in E^*$，有 $b_X(\mu)(f) = \mu(f|X)$。
• 证明 $b_X$ 是仿射的，并满足对所有 $x \in X$ 有 $b_X(\delta_x) = x$。
• 利用涉及邻域和弱有界集的拓扑论证，证明 $b_X$ 连续当且仅当 $X$ 在 $E$ 中有界。
• 通过有界伪度量 $p_\tau$ 将函子 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 提升至范畴 $\mathcal{BM}etr$，诱导出一致结构 $\mathcal{U}_\tau$。
• 证明任意一致连续映射 $f$ 之间在有界度量空间中，映射 $P_{\tau}(f)$ 也是一致连续的。
• 利用一致嵌入和Ascoli定理，证明在一致空间设定下，$P_{\tau}(X)$ 是完全有界的当且仅当 $X$ 在一致空间中是完全有界的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，质心映射 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$ 是连续的？
• RQ2 函子 $\hat{P}$ 在度量空间范畴中是否是单子的？质心映射如何支持这一结论？
• RQ3 函子 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 是否可以被提升至有界度量空间和一致空间范畴？这些提升保持了哪些性质？
• RQ4 函子 $\hat{P}$ 是否保持一致空间中的完备性？在此背景下存在哪些限制？
• RQ5 一致空间 $X$ 的完全有界性与 $P_{\tau}(X)$ 的完全有界性之间有何关系？

主要发现

• 质心映射 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$ 连续当且仅当集合 $X \subset E$ 有界。
• 通过质心映射及其性质，证明函子 $\hat{P}$ 在度量空间范畴上是单子的。
• 函子 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 可被提升至有界度量空间范畴 $\mathcal{BM}etr$，并保持映射的一致连续性。
• 函子 $P_{\tau}$ 和 $\hat{P}$ 也可被提升至一致空间范畴 $\mathcal{U}nif$，且对任意一致连续映射 $f$，有 $P_{\tau}(f)$ 一致连续。
• 一致空间 $(X, \mathcal{U})$ 完全有界当且仅当 $(P_{\tau}(X), \mathcal{U}_\tau)$ 完全有界。
• 函子 $\hat{P}$ 一般不保持完备的一致空间，如在 uncountable $A$ 时，$\hat{P}(\mathbb{R}^A)$ 中存在一个柯西网但无聚点。