[论文解读] Topology of subvarieties of complex semi-abelian varieties

Yongqiang Liu, Laurenţiu Maxim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文利用帕拉依斯-斯莫尔特非正则莫尔斯理论，为复半阿贝尔簇的光滑闭子簇建立了拓扑有限性与消去性质。它证明了积分亚历山大模的有限生成性（中间度除外）、带符号欧拉示性数性质，以及秩一局部系统上的通用消去性，通过诺维科夫同调给出拓扑解释，并得出关于非常仿射流形的 $L^2$-贝蒂数的新通用消去结果。

ABSTRACT

We use the non-proper Morse theory of Palais-Smale to investigate the topology of smooth closed subvarieties of complex semi-abelian varieties, and that of their infinite cyclic covers. As main applications, we obtain the finite generation (except in the middle degree) of the corresponding integral Alexander modules, as well as the signed Euler characteristic property and generic vanishing for rank-one local systems on such subvarieties. Furthermore, we give a more conceptual (topological) interpretation of the signed Euler characteristic property in terms of vanishing of Novikov homology. As a byproduct, we prove a generic vanishing result for the $L^2$-Betti numbers of very affine manifolds. Our methods also recast June Huh's extension of Varchenko's conjecture to very affine manifolds, and provide a generalization of this result in the context of smooth closed subvarieties of semi-abelian varieties.

研究动机与目标

• 为复半阿贝尔簇的光滑子簇的带符号欧拉示性数性质提供一个纯粹的拓扑证明，避免使用 perverse sheaf 技术。
• 为这类子簇的积分亚历山大模建立有限生成性，除了中间度之外。
• 通过诺维科夫同调的消去性，给出带符号欧拉示性数性质的观念性拓扑解释。
• 证明非常仿射流形的 $L^2$-贝蒂数的通用消去结果。
• 将朱恩·胡的对瓦潜科猜想的推广，推广至半阿贝尔簇的光滑闭子簇。

提出的方法

• 在帕拉依斯-斯莫尔特框架下应用非正则莫尔斯理论，分析子簇的无限循环覆叠的拓扑性质。
• 在子簇上使用实值莫尔斯函数，研究其同伦型与胞复形结构。
• 构造一个连续映射 $F_\xi: X_0 \to S^1$，使其为纤维具有有限同伦型的纤维丛，从而实现 $X$ 附着 $n$-胞复形的同伦型。
• 分析无限循环覆叠的全空间上的帕拉依斯-斯莫尔特条件，以确保梯度流的适当行为。
• 利用全纯1-形式及其实部与虚部，定义梯度范数受控的莫尔斯型函数 $\Psi_\eta$。
• 在乘积空间 $X \times \Gamma$ 中应用紧致性论证，以排除无极限点的序列，从而确保帕拉依斯-斯莫尔特条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 复半阿贝尔簇的光滑子簇的带符号欧拉示性数性质是否具有纯粹的拓扑证明？
• RQ2 此类子簇的积分亚历山大模在所有度上是否有限生成，除了中间度？
• RQ3 带符号欧拉示性数性质是否可通过诺维科夫同调的消去性来解释？
• RQ4 非常仿射流形的 $L^2$-贝蒂数是否满足通用消去性？
• RQ5 胡对瓦潜科猜想的推广能否推广至半阿贝尔簇的光滑闭子簇？

主要发现

• 对于复半阿贝尔簇中一个光滑闭的 $n$-维子簇 $X$，以及一个一般同态 $\xi: \pi_1(X) \to \mathbb{Z}$，无限循环覆叠 $X^\xi$ 同伦等价于一个附着可能无限多个 $n$-胞复形的有限 CW 复形。
• 对于所有 $i \neq n$，积分亚历山大模 $H_i(X^\xi; \mathbb{Z})$ 是有限生成的阿贝尔群。
• 对于所有 $i \neq n$，复亚历山大模 $H_i(X^\xi; \mathbb{C})$ 是 $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$-模的挠模，这意味着亚历山大多项式 $\Delta_i^\xi(t)$ 是良定义的。
• 带符号欧拉示性数性质 $(-1)^n \chi(X) \geq 0$ 成立，且等价于中间度上诺维科夫同调的消去性。
• 对于 $H^1$ 上具有 $(1,1)$ 型纯霍奇结构的非常仿射流形，定理 1.2 的拓扑结构对所有一般 $\xi$ 成立，而不仅限于通过 $\pi_1(G)$ 的那些 $\xi$。
• 非常仿射流形的 $L^2$-贝蒂数在一般情况下消失，从而得出一个全新的通用消去结果。