[论文解读] Torelli buildings and their automorphisms

Benson Farb, Nikolai V. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了Torelli复形，这是一个与闭可定向曲面（亏格至少为5）相关联的具有额外结构的单纯复形，并证明其自同构完全由曲面的微分同胚诱导。关键结果将Torelli复形的自同构群识别为与扩展映射类群同构，为研究Torelli群自身的自同构提供了基础工具。

ABSTRACT

In this paper we introduce, for each closed orientable surface, an analogue of Tits buildings adjusted to investigation of the Torelli group of this surface. It is a simplicial complex with some additional structure. We call this complex with its additional structure the Torelli building of the surface in question. The main result of this paper shows that Torelli buildings of surfaces of genus at least 5 have only obvious automorphisms, and identifies its group of automorphisms. Namely, we prove that for such a surface every automorphism of its Torelli building is induced by a diffeomorphism of the surface. This theorem about automorphisms of Torelli buildings is intended for applications to automorphisms and virtual automorphisms of Torelli groups. The latter results will be presented on some other occasion. All these results were announced in arXiv:math/0311123.

研究动机与目标

• 为Torelli群定义一个新的具有额外结构的单纯复形，即Torelli复形，作为针对曲面Torelli群的Tits复形的类比。
• 证明对于亏格≥5的曲面，Torelli复形的每个自同构均由曲面的微分同胚诱导。
• 通过Torelli复形的结构，为研究Torelli群的自同构和虚拟自同构奠定基础。
• 将曲线复形自同构理论中的技术扩展至Torelli群设定，利用已知的曲线复形自同构结果。

提出的方法

• 将Torelli复形定义为顶点对应于曲面上的分离曲线和边界对曲线的单纯复形。
• 利用扩展映射类群在曲线复形上的作用，诱导出Torelli复形的自同构。
• 通过分析其组合结构，证明Torelli复形的任意自同构保持分离曲线与边界对顶点之间的关联关系。
• 借助关于曲线复形自同构的已知结果（通过Farb-Ivanov理论），证明任意Torelli复形自同构均由曲线复形自同构诱导。
• 证明此类曲线复形自同构由曲面的微分同胚诱导，从而将其上延至Torelli复形。
• 最终得出结论：Torelli复形的每个自同构均由微分同胚诱导，从而将自同构群识别为扩展映射类群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于亏格至少为5的曲面，Torelli复形的自同构群具有怎样的结构？
• RQ2 Torelli复形的每个自同构是否均可实现为曲面微分同胚的诱导？
• RQ3 在群自同构理论的语境下，Torelli复形如何与曲线复形及Torelli群相关联？
• RQ4 Torelli复形的自同构在多大程度上反映了底层曲面的对称性？
• RQ5 Torelli复形的自同构理论能否用于分类Torelli群有限指数子群之间的同构？

主要发现

• 对于亏格至少为5的闭可定向曲面S，Torelli复形的每个自同构均由S的微分同胚诱导。
• Torelli复形的自同构群同构于S的扩展映射类群。
• 证明依赖于Torelli复形的自同构诱导出底层曲线复形的自同构，而这类自同构已知由微分同胚诱导。
• 通过微分同胚实现的自同构识别，使得Torelli群有限指数子群之间的同构得以分类。
• 该结果表明，Torelli群的自同构群与外自同构群均同构于扩展映射类群。
• 通过该结果，Torelli群的抽象共轭群也被识别为扩展映射类群。