[论文解读] Torelli theorem via Fourier-Mukai transform

Alexander Beilinson, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Nov 23, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 16

一句话总结

本文利用雅可比簇上的傅里叶-穆凯伊变换，为曲线的托里奇定理提供了新的证明。它表明，傅里叶变换在曲线上与theta除数之间的狄拉克函数之间实现交换，并证明了在theta除数光滑部分上的线丛的变换结果为曲线上某一线丛的移位推出，从而通过导出范畴方法从其雅可比簇重构出曲线。

ABSTRACT

We show that the Fourier transform on the Jacobian of a curve interchanges "$δ$ functions" at the curve and the theta divisor. The Torelli theorem is an immediate consequence.

研究动机与目标

• 通过傅里叶-穆凯伊变换，基于导出范畴提供托里奇定理的证明。
• 通过傅里叶变换建立曲线上线丛与theta除数之间的对偶性。
• 刻画满足特定对偶性和生成条件的theta除数光滑部分上线丛集合𝒯。
• 证明此类线丛的傅里叶变换结果为曲线上某一线丛的移位推出，从而实现从雅可比簇重构曲线。
• 证明半直积群𝔻J在𝒯上的作用是传递的，从而将定理简化为单一情形。

提出的方法

• 在雅可比簇的导出范畴上使用傅里叶-穆凯伊变换，关联曲线上与theta除数上的层。
• 定义Θns上满足L·Lν = ωΘns且生成商群A(J)的线丛集合𝒯。
• 通过曲线上度数为1−g的线丛构造标准嵌入j:Θ→J，使得Θns同构于Sym^{g−1}C。
• 利用Θ上的对合ν，满足jν(x) = −j(xν)，并为Θ上的线丛定义Lν = ν∗L。
• 应用基变换与同调计算，计算傅里叶变换的导出拉回，证明其同构于曲线上某一线丛的移位推出。
• 利用Picard群的Lefschetz定理与对称Künneth公式，建立上同调中的消去与同构，证明傅里叶变换落在正确的层中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲线的雅可比簇上，傅里叶-穆凯伊变换是否交换曲线上与theta除数之间的狄拉克函数？
• RQ2 能否通过证明theta除数光滑部分上线丛的变换结果为曲线上某一线丛的移位推出，从而利用傅里叶-穆凯伊变换证明托里奇定理？
• RQ3 theta除数光滑部分上线丛集合𝒯是否非空，且在半直积群𝔻J作用下不变？
• RQ4 𝔻J在𝒯上的作用是否传递，从而将定理简化为单一代表？
• RQ5 Picard群Pic(J)、Picard群Pic(Θns)与商群A(J)之间的关系是什么？这与托里奇定理有何关联？

主要发现

• 对于亏格g≥2的曲线的雅可比簇，集合𝒯非空。
• 对任意L∈𝒯及标准嵌入j:Θ→J，傅里叶变换𝒩(j∗L)[1]同构于(±i)∗(M)[1−g]，其中i:C→J为标准嵌入，M为C上度数为g−1的线丛。
• 傅里叶-穆凯伊变换交换了曲线与theta除数的角色：它将Θns上的线丛映射为C上某一线丛的移位推出。
• 半直积群𝔻J在𝒯上的作用是传递的，从而将证明简化为单一情形。
• 傅里叶变换的导出拉回为一个上同调集中在度数0与−1的复形，且条件L·Lν = ωΘns被满足。
• Θns上的线丛L生成商群A(J)，即Pic(J)→Pic(Θns)的余核，从而确认了对偶结构。