[论文解读] Toric Geometry and String Theory

Vincent Bouchard|ArXiv.org|Sep 18, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 111被引用 9

一句话总结

本论文通过分类编码局部 Calabi-Yau 几何的toric数据——tops——建立了toric几何与弦理论之间的对应关系，并将其与仿射及扭曲 Kac-Moody 代数相关联，从而在紧化中实现降低秩的规范群。此外，利用几何过渡、Chern-Simons理论、局部化方法以及拓扑顶点，计算了toric Calabi-Yau三fold的orientifold上封闭与开的拓扑弦振幅，推导出如三叶草 knot 等的显式 BPS 不变量。

ABSTRACT

In this thesis we probe various interactions between toric geometry and string theory. First, the notion of a top was introduced by Candelas and Font as a useful tool to investigate string dualities. These objects torically encode the local geometry of a degeneration of an elliptic fibration. We classify all tops and give a prescription for assigning an affine, possibly twisted Kac-Moody algebra to any such top. Tops related to twisted Kac-Moody algebras can be used to construct string compactifications with reduced rank of the gauge group. Secondly, we compute all loop closed and open topological string amplitudes on orientifolds of toric Calabi-Yau threefolds, by using geometric transitions involving SO/Sp Chern-Simons theory, localization on the moduli space of holomorphic maps with involution, and the topological vertex. In particular, we count Klein bottles and projective planes with any number of handles in some Calabi-Yau orientifolds. We determine the BPS structure of the amplitudes, and illustrate our general results in various examples with and without D-branes. We also present an application of our results to the BPS structure of the coloured Kauffman polynomial of knots. This thesis is based on hep-th/0303218 (with H. Skarke), hep-th/0405083 and hep-th/0411227 (with B. Florea and M. Marino).

研究动机与目标

• 对toric几何中的所有tops进行分类，并将其与仿射或扭曲 Kac-Moody 代数相关联，以探索规范群秩降低的弦紧化。
• 利用几何过渡与局部化方法，计算toric Calabi-Yau三fold的orientifold上封闭与开的拓扑弦振幅。
• 以Kähler参数和规范群类型（SO/Sp）为变量，推导出拓扑弦振幅的显式生成函数。
• 确定振幅的BPS结构，并将结果应用于 knot 不变量，特别是彩色 Kauffman 多项式。
• 通过拓扑顶点与Chern-Simons理论，建立一个系统性框架，连接toric几何、弦理论中的对偶性与拓扑不变量。

提出的方法

• 使用格点多面体及其对偶对所有tops进行分类，识别出与扭曲 Kac-Moody 代数对应的那些。
• 利用几何过渡将orientifold化的Calabi-Yau三fold与拉格朗日子流形上的Chern-Simons理论联系起来。
• 应用非定向局部化技术，计算包含各种亏格的交叉帽与实射影平面（RP²）的振幅。
• 实施拓扑顶点形式化方法，计算orientifold上封闭与开弦振幅的生成函数。
• 利用具有经典规范群（SO/Sp）的Chern-Simons理论，通过对偶映射推导出封闭弦振幅。
• 通过在Kähler模上展开并按亏格与次数识别贡献，从振幅中提取BPS不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些toric几何中的tops对应于扭曲 Kac-Moody 代数？它们如何在弦紧化中导致规范群秩的降低？
• RQ2 如何利用几何过渡与局部化方法计算toric Calabi-Yau三fold的orientifold上封闭与开的拓扑弦振幅？
• RQ3 振幅的BPS结构是什么？它与彩色 Kauffman 多项式等knot不变量有何关联？
• RQ4 拓扑顶点与Chern-Simons理论如何结合以计算orientifold振幅的生成函数？
• RQ5 orientifold对合在修改全纯映射的模空间及其导致的振幅中起什么作用？

主要发现

• 本文对所有tops进行了分类，并识别出与扭曲 Kac-Moody 代数相关的部分，从而实现了规范群秩降低的弦紧化。
• 在 e⁻ᵗ 的前三度内，显式计算了封闭拓扑弦振幅的生成函数，结果分别给出了 SO 与 Sp 规范群的情形。
• 振幅包含了来自克莱因瓶与最多九条边的射影平面的贡献，这些贡献被编码在BPS不变量中。
• 对三叶草 knot 的BPS不变量在三个方框表示（3）、（2,1）与（1,1,1）中被计算，显示出非平凡的亏格与次数依赖性。
• 三叶草 knot 的结果展现出丰富结构：例如，Nc=1(3),g=0,β=2 = 18 且 Nc=1(3),g=1,β=2 = 21，且在小 β 时高亏格下不变量趋于零。
• 在 Q=0 时，定向贡献的生成函数与已知的局部 del Pezzo dP3 在无穷远处具有一个Kähler参数的结果相匹配。