[论文解读] Toric Geometry and the Semple-Nash modification

Pedro D. González Pérez, Bernard Teissier|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文在不假设正规性的前提下，通过扇形和相容的半群构建了仿射簇的组合理论。它表明，通过迭代Semple-Nash变换（或其无特征限制的类比——对数雅可比理想爆破）可实现对仿射簇上最大秩单项赋值的局部统一化，从而将Hironaka的消去法推广为一种典范的、无特征限制的过程。

ABSTRACT

This paper proposes some material towards a theory of general toric varieties without the assumption of normality. Their combinatorial description involves a fan to which is attached a set of semigroups subjected to gluing-up conditions. In particular it contains a combinatorial construction of the blowing up of a sheaf of monomial ideals on a toric variety. In the second part it is shown that over an algebraically closed base field of zero characteristic the Semple-Nash modification of a general toric variety is isomorphic to the blowing up of the sheaf of logarithmic jacobian ideals and that in any characteristic this blowing-up is an isomorphism if and only if the toric variety is non singular. In the second part we prove that orders on the lattice of monomials (toric valuations) of maximal rank are uniformized by iterated Sempla-Nash modifications.

研究动机与目标

• 通过扇形和半群的组合数据将仿射几何推广至非正规代数簇。
• 为仿射簇上单项理想层的爆破提供组合描述。
• 证明对数雅可比理想爆破的迭代可解决仿射簇上任意最大秩单项赋值。
• 建立Semple-Nash变换的无特征限制版本，作为典范的消去过程。
• 将Semple-Nash过程与经典奇异点消去法及Zariski-Riemann空间联系起来。

提出的方法

• 通过扇形和对偶锥中满足粘合条件的半群族，定义抽象仿射簇。
• 通过修改半群和扇形结构，将单项理想层的爆破构造为仿射簇。
• 在非正规情形下，刻画环不变Cartier除子，并给出正性与非常正性的判别准则。
• 利用对数雅可比理想作为典范理想，定义Semple-Nash变换的无特征限制类比。
• 证明该爆破过程的迭代可实现对任意最大秩单项赋值的局部统一化。
• 建立半群上预序空间与所有仿射爆破的逆极限之间的同胚关系，推广Zariski-Riemann空间的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设正规性的前提下，通过扇形和半群对仿射簇进行组合描述？
• RQ2 在非正规仿射几何设定下，如何对单项理想层的爆破进行组合描述？
• RQ3 对数雅可比理想爆破的迭代是否可解决仿射簇上任意最大秩单项赋值？
• RQ4 在特征零情形下，Semple-Nash变换是否与该爆破过程同构？
• RQ5 在此框架下，预序的Zariski-Riemann空间是否可实现为仿射爆破的逆极限？

主要发现

• 本文通过扇形和对偶锥中相容的半群，构建了非正规仿射簇的组合理论。
• 它为非正规情形下的环不变Cartier除子提供了完整的组合描述，并给出了正性与非常正性的判别准则。
• 对数雅可比理想爆破的迭代可实现对任意最大秩单项赋值的局部统一化。
• 在特征零情形下，该爆破过程同构于Semple-Nash变换。
• 仿射簇半群上预序空间与所有仿射爆破的逆极限同胚，推广了Zariski-Riemann空间。
• 该构造建立了一种典范的、无特征限制的消去过程，用于解决仿射簇上最大秩单项赋值。