[论文解读] Toric Kähler-Einstein metrics and convex compact polytopes

Éveline Legendre|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文证明，任意紧致、凸的简单格点多面体均可通过内法向量实现唯一（至多位似变换）的标记，使得对应的环状轨道簇支持凯勒–爱因斯坦度量。通过将 Wang–Zhu 定理推广至轨道簇，并构造满足 Guillemin 边界条件与凯勒–爱因斯坦方程的辛势函数，作者证明了在环状流形上存在具有显式奇点类型的奇异凯勒–爱因斯坦度量，其奇点类型由标记决定。

ABSTRACT

We show that any compact convex simple lattice polytope is the moment polytope of a Kähler-Einstein orbifold, unique up to orbifold covering and homothety. We extend the Wang-Zhu Theorem \cite{WZ} giving the existence of a Kähler-Ricci soliton on any toric monotone manifold on any compact convex simple labelled polytope satisfying the combinatoric condition corresponding to monotonicity. We obtain that any compact convex simple polytope $P\subset \bR^n$ admits a set of inward normals, unique up to dilatation, such that there exists a symplectic potential satisfying the Guillemin boundary condition (with respect to these normals) and the Kähler-Einstein equation on $P imes \bR^n$. We interpret our result in terms of existence of singular Kähler-Einstein metrics on toric manifolds.

研究动机与目标

• 证明每个紧致、凸的简单格点多面体均可通过内法向量标记，使得对应的环状轨道簇支持凯勒–爱因斯坦度量。
• 通过组合标记方法，将 Wang–Zhu 定理关于凯勒–里奇孤立子的结果推广至单调环状轨道簇。
• 在多面体上构造满足 Guillemin 边界条件与凯勒–爱因斯坦方程的辛势函数。
• 以奇异凯勒–爱因斯坦度量的形式解释结果，其在环状流形上的奇点具有可控的锥形或光滑奇点。
• 证明此类标记下极值仿射函数为常数，从而推出 Futaki 不变量为零，并表明存在常数量曲率凯勒度量。

提出的方法

• 利用 Delzant–Lerman–Tolman 对应关系，将有理标记多面体与辛环状轨道簇相关联。
• 在具有内法向量 ν 的多面体 P 上构造一个辛势函数 u ∈ S(P,ν)，使其满足 Guillemin 边界条件。
• 应用 Abreu 公式，将数量曲率 S(u) 表示为 u 的 Hessian 矩阵的函数，从而将其与极值仿射函数 A(P,ν) 联系起来。
• 在 P × ℝⁿ 上施加凯勒–爱因斯坦方程 S(u) = 2nλ（其中 λ > 0），导出关于势函数 u 的完全非线性偏微分方程。
• 利用标记 ν（至多位似变换）的唯一性，使得 (P,ν) 为单调且 A(P,ν) 为常数，从而确保 Futaki 不变量为零。
• 通过法向量 ν 与 η 的比值分析所得度量在环状除子上的奇点类型，依据度量假设中的参数 a，识别出锥形、光滑或非定性奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个紧致、凸的简单格点多面体均可通过内法向量标记，使得对应的环状轨道簇支持凯勒–爱因斯坦度量？
• RQ2 在标记多面体上，何种组合条件可确保通过 Futaki 不变量为零而存在凯勒–爱因斯坦度量？
• RQ3 如何在多面体上构造辛势函数，使其同时满足 Guillemin 边界条件与凯勒–爱因斯坦方程？
• RQ4 在环状流形上的凯勒–爱因斯坦度量中，会出现何种类型的奇点？其由多面体的标记如何决定？
• RQ5 对于给定多面体，其内法向量的标记是否唯一（至多位似变换）以使凯勒–爱因斯坦结构存在？

主要发现

• 任意紧致、凸的简单格点多面体均可通过唯一（至多位似变换）的内法向量 ν 标记，使得对应的环状轨道簇为凯勒–爱因斯坦度量。
• 该标记确保极值仿射函数 A(P,ν) 为常数，从而推出 Futaki 不变量为零，并表明存在常数量曲率凯勒度量。
• 在 P × ℝⁿ 上存在一个辛势函数 u，满足 Guillemin 边界条件与凯勒–爱因斯坦方程 S(u) = 2nλ（其中 λ > 0）。
• 所得凯勒度量在环状流形上沿环状除子表现出奇点，当 λaₖνₖ = ηₖ 且 aₖ < 1 时为锥形奇点。
• 对于第一类希策布吕希表面，当 C = 1 时，度量的奇点角为 2π·5/7，与 Székelyhidi 构造中 Ric(ω) ≥ (6/7)ω 的极限情况一致。
• 奇点类型仅取决于法向量 ν 与 η 的比值，且变换 Φᵤ⁻¹∘Φᵤ₀ 是内部的微分同胚，保持凯勒结构的同时解析了奇点。