[论文解读] Toric Prevarieties and Subtorus Actions

Annette A’Campo–Neuen, J. Hausen|ArXiv.org|Dec 30, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过放宽分离性条件，将环化簇推广为环化预簇，利用扇系统引入环化预簇——实现完全的组合分类。通过算法构造证明了子环作用下环化预商的存在性，并证明了每个环化预簇均可作为复仿射空间某个开子簇的范畴预商的像而构造，从而推广了 D. Cox 的结果。

ABSTRACT

Dropping separatedness in the definition of a toric variety, one obtains the more general notion of a toric prevariety. Toric prevarieties occur as ambient spaces in algebraic geometry and moreover they appear naturally as intermediate steps in quotient constructions. We first provide a complete description of the category of toric prevarieties in terms of convex-geometrical data, so-called systems of fans. In a second part, we consider actions of subtori H of the big torus of a toric prevariety X and investigate quotients for such actions. Using our language of systems of fans, we characterize existence of good prequotients for the action of H on X. Moreover, we show by means of an algorithmic construction that there always exists a toric prequotient for the action of H on X, that means an H-invariant toric morphism p from X to a toric prevariety Y such that every H-invariant toric morphism from X to a toric prevariety factors through p. Finally, generalizing a result of D. Cox, we prove that every toric prevariety occurs as the image of a categorical prequotient of an open toric subvariety of some complex affine space.

研究动机与目标

• 通过移除分离性条件，扩展环化簇理论，引入环化预簇的概念。
• 利用扇系统对环化预簇提供完全的组合描述，推广经典扇对应关系。
• 研究子环作用于环化预簇时的商构造，重点关注预商的存在性与普遍性。
• 通过算法方法证明任意子环作用于环化预簇时，其普遍环化预商的存在性。
• 通过证明每个环化预簇均可作为复仿射空间中某个开环化子簇的范畴预商的像，推广 D. Cox 的结果。

提出的方法

• 使用扇系统——满足相容性条件的有理多面体扇集合——以组合方式表示环化预簇。
• 将环化预商定义为 H-不变的环化态射，其可普遍地因式分解所有其他 H-不变的环化态射到预簇。
• 通过组合原始预簇与子环作用数据中的扇，算法化构造普遍环化预商。
• 利用扇及其粘合条件的语言，基于扇系统的相容性，刻画良好预商存在的条件。
• 应用环化态射与轨道结构的理论，将几何商与扇系统中的组合数据联系起来。
• 通过将任意环化预簇嵌入复仿射空间的开子簇中，推广 Cox 的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合数据完全分类环化预簇？在此设定下，经典扇由什么取代？
• RQ2 在何种条件下，子环作用于环化预簇时存在良好预商？
• RQ3 对于给定的子环作用于环化预簇，是否总能构造出普遍环化预商？
• RQ4 每个环化预簇是否都可实现为复仿射空间中某个开环化子簇的范畴预商的像？
• RQ5 扇系统组合结构如何反映子环作用与商的几何性质？

主要发现

• 环化预簇由扇系统完全分类，扇系统推广了经典扇，编码了非分离环化簇的粘合数据。
• 子环作用于环化预簇时，良好预商存在的充要条件是对应扇系统与子环作用满足相容性条件。
• 通过算法构造可获得任意子环作用于环化预簇时的普遍环化预商，确保所有 H-不变环化态射的因式分解。
• 每个环化预簇均可作为某个复仿射空间中开环化子簇的范畴预商的像而构造，推广了 D. Cox 的结果。
• 普遍预商的构造是有效且组合的，仅依赖于扇系统与子环作用。
• 该理论在几何子环作用于环化预簇与扇系统中其组合对应物之间建立了完全对偶。