[论文解读] Toric Surfaces and Sasakian-Einstein 5-manifolds

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用 8

一句话总结

该论文通过研究具有正反canonical线丛和对合的对称toric Fano曲面——即具有正反canonical线丛的toric轨道流形——构造了具有任意奇数第二贝蒂数的光滑toric Sasakian-Einstein 5-流形，其Kähler-Einstein度量通过乘子理想层与Monge-Ampère方程得以确立。相关Seifert S¹-丛的全空间构成一个Sasakian-Einstein 5-流形，当其底层的3-Sasakian轨道流形光滑时，该流形的光滑性得以保证。

ABSTRACT

We consider toric surfaces X with an orbifold structure such that the anti-canonical line V-bundle K −1 is positive which admit a certain involution. Such a toric variety X with its orbifold structure is called a symmetric toric Fano surface. It is described by a convex polyhedron with integral vertices in the plane which is invariant under the antipodal map. Using the theory of multiplier ideal sheaves of A. Nadel [54, 55] we show that the appropriate Monge-Ampère equation is solvable, so X admits an orbifold Kähler Einstein metric of positive scalar curvature. By [14] the total space of a Seifert S 1-bundle on X has a Sasakian-Einstein structure. We obtain examples of smooth toric Sasakian-Einstein 5-manifolds with every odd second Betti number. Certain divisors in the twistor space of toric anti-self-dual Einstein orbifolds M of positive scalar curvature (cf. [22]) are toric surfaces of the above type. The associated Sasakian-Einstein space is smooth if the 3-Sasakian orbifold associated to M(cf. [16, 12, 13, 18]) is smooth. Thus associated to every toric 3-Sasakian manifold is a Sasakian-Einstein 5-manifold. Using the quaternionic/3-Sasakian

研究动机与目标

• 构造具有任意奇数第二贝蒂数的光滑Sasakian-Einstein 5-流形。
• 刻画具有轨道流形结构、反canonical线丛为正且在对合下不变的toric曲面。
• 利用乘子理想层与Monge-Ampère方程，证明对称toric Fano曲面上Kähler-Einstein度量的存在性。
• 通过Seifert S¹-丛将这些度量与Sasakian-Einstein结构联系起来。
• 将该构造与具有正数量曲率的toric反自对偶Einstein轨道流形的twistor空间及3-Sasakian流形联系起来。

提出的方法

• 通过在对合下不变的具有整数顶点的凸多面体分析对称toric Fano曲面。
• 应用A. Nadel的乘子理想层理论，证明在轨道流形曲面上适当Monge-Ampère方程的可解性。
• 在对称toric Fano曲面上建立正数量曲率轨道流形Kähler-Einstein度量的存在性。
• 利用文献[14]的结果，即此类曲面上的Seifert S¹-丛全空间具有Sasakian-Einstein结构。
• 将该构造与具有正数量曲率的toric反自对偶Einstein轨道流形的twistor空间联系起来。
• 当相关3-Sasakian轨道流形光滑时，确保所得Sasakian-Einstein 5-流形的光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过具有特定对称性的toric Fano曲面构造具有任意奇数第二贝蒂数的光滑toric Sasakian-Einstein 5-流形？
• RQ2 在何种条件下，对称toric Fano曲面会允许存在正数量曲率的Kähler-Einstein度量？
• RQ3 乘子理想层与Monge-Ampère方程如何促进轨道流形toric曲面上Kähler-Einstein度量的存在性？
• RQ4 toric反自对偶Einstein轨道流形的twistor空间与所得Sasakian-Einstein 5-流形之间存在何种关系？
• RQ5 在何种情况下，从对称toric Fano曲面上的Seifert S¹-丛得到的Sasakian-Einstein 5-流形是光滑的？

主要发现

• 本文构造了具有任意奇数第二贝蒂数的光滑toric Sasakian-Einstein 5-流形，为这类流形提供了一个新类。
• 对称toric Fano曲面——由在对合下不变且具有整数顶点的凸多面体定义——具有正数量曲率的Kähler-Einstein度量。
• 利用Nadel理论中的乘子理想层，确立了这些轨道流形上Monge-Ampère方程的可解性。
• 此类曲面上的Seifert S¹-丛全空间继承了Sasakian-Einstein结构。
• 该构造与具有正数量曲率的toric反自对偶Einstein轨道流形的twistor空间相关联。
• 当相关3-Sasakian轨道流形光滑时，所得Sasakian-Einstein 5-流形是光滑的。