[论文解读] Toric varieties - degenerations and fundamental groups

Meirav Amram, Shōetsu Ogata|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文通过退化和 braid 单值化技术，计算了四种特殊 toric 曲面的分支曲线补集的基本群。利用 toric 几何和再生规则，该文给出了 π₁(ℂℙ² \ B) 作为 braid 群商的显式表示，关键结果表明其同构于 ℬ₅/⟨Γ₄²Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂Γ₃⟩、ℬ₆/⟨Γ₃Γ₄Γ₅²Γ₄Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂⟩、ℬ₄/⟨Γ₂Γ₃²Γ₂Γ₁²⟩，以及一个 A₁ 奇点奇异 toric 曲面的 ℬ₆/⟨[X,Y]⟩ 的商群。

ABSTRACT

In this paper we calculate fundamental groups (and some of their quotients) of complements of four toric varieties branch curves. For these calculations, we study properties and degenerations of these toric varieties and the braid monodromies of the branch curves in $\mathbb{CP}^2$. The fundamental groups related to the first three toric varieties turn to be quotients of the Artin braid groups $\mathcal{B}_5$, $\mathcal{B}_6$, and $\mathcal{B}_4$, while the fourth one is a certain quotient of the group $ ilde{\mathcal{B}}_6 = \mathcal{B}_6/$, where $X, Y$ are transversal. The quotients of all four groups by the normal subgroups generated by the squares of the standard generators are respectively $S_5, S_6, S_4$ and $S_6$. We therefore conclude that the fundamental groups of the Galois covers of the four given toric varieties are all trivial.

研究动机与目标

• 计算特定 toric 曲面的通用投影分支曲线 B 的补集的基本群 π₁(ℂℙ² \ B)。
• 将 braid 单值化技术扩展至新的 toric 曲面，包括 Hirzebruch 曲面 F₁、F₀、F₂ 和一个具有 A₁ 奇点的奇异 toric 曲面。
• 利用 toric 几何对 Moishezon 和 Teicher 的图示退化图提供几何解释。
• 通过 van Kampen 定理和应用于退化平面构型的再生规则，建立基本群的有限表示。

提出的方法

• 将 toric 曲面 X 退化为 n 个平面的并集 X₀，其中 B₀ 为交线的并集。
• 使用 [25] 中的再生规则，将 braid 单值化分解从 B₀ 提升至 B。
• 应用 van Kampen 定理，得到 π₁(ℂ² \ B) 的有限表示，其生成元为 Γ₁, Γ₁′, ..., Γₘ, Γₘ′。
• 引入射影关系 Γₘ′⋯Γ₁′Γ₁⋯Γₘ = e，以获得 π₁(ℂℙ² \ B)。
• 利用 braid 群关系和几何路径选择，消除冗余生成元并简化关系。
• 对于奇异曲面，证明 π₁(ℂℙ² \ B₄) 同构于 ℬ₆/⟨[X,Y]⟩ 的一个商群，其中 X 和 Y 为横截的半扭转。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Hirzebruch 曲面 F₁ 通过 s+3g 嵌入 ℂℙ⁶ 时，其通用投影分支曲线的补集的基本群 π₁(ℂℙ² \ B) 是什么？
• RQ2 当 F₀ 通过 𝒪(1,n) 嵌入 ℂℙ²ⁿ⁺¹ 时，braid 单值化分解和基本群如何变化？
• RQ3 当具有 A₁ 奇点的奇异 toric 曲面 X₄ 嵌入 ℂℙ⁶ 时，π₁(ℂℙ² \ B) 的结构是什么？
• RQ4 退化和再生方法能否通过 toric 几何的洞见，被适配于非光滑 toric 曲面？
• RQ5 基本群中的关系如何反映退化构型的拓扑与几何结构？

主要发现

• π₁(ℂℙ² \ B₁) ≅ ℬ₅ / ⟨Γ₄²Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂Γ₃⟩，其中 B₁ 是 F₁ 通过 s+3g 嵌入 ℂℙ⁶ 的分支曲线。
• π₁(ℂℙ² \ B₂) ≅ ℬ₆ / ⟨Γ₃Γ₄Γ₅²Γ₄Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂⟩，适用于 F₀ 通过 𝒪(1,3) 嵌入 ℂℙ⁷ 的情况，并推广至 𝒪(1,n) 嵌入 ℂℙ²ⁿ⁺¹。
• π₁(ℂℙ² \ B₃) ≅ ℬ₄ / ⟨Γ₂Γ₃²Γ₂Γ₁²⟩，适用于 F₂ 通过 s+3g 嵌入 ℂℙ⁵ 的情况。
• π₁(ℂℙ² \ B₄) 同构于 ℬ₆ / ⟨[X,Y]⟩ 的一个商群，其中 X 和 Y 为横截的半扭转，适用于具有 A₁ 奇点的奇异 toric 曲面。
• 关系 (87) 是冗余的，因为等式两边均等于 Γ₂，因此可消去 Γ₂′ 和 Γ₆′，简化表示。
• 当所有 Γⱼ² = e 时，群 Π(B₄) 同构于 S₆，证实剩余关系足以定义对称群。