[论文解读] Toric Varieties vs. Horofunction Compactifications of Polyhedral Norms

Lizhen Ji, Anna-Sofie Schilling|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

该论文在维度为 $n$ 的射影 тор的代数簇与配备有有理多面体范数的 $\r^n$ 的霍罗函数紧化之间建立了规范的、几何的 1-1 对应关系。该射影 тор的代数簇的非负部分及其作用映射的像均同胚于霍罗函数紧化，后者被实现为该范数单位球的极多面体。

ABSTRACT

We establish a natural and geometric 1-1 correspondence between projective toric varieties of dimension $n$ and horofunction compactifications of $\mathbb{R}^n$ with respect to rational polyhedral norms. For this purpose, we explain a topological model of toric varieties. Consequently, toric varieties in algebraic geometry, normed spaces in convex analysis, and horofunction compactifications in metric geometry are directly and explicitly related.

研究动机与目标

• 建立维度为 $n$ 的射影 тор的代数簇与配备有有理多面体范数的 $\r^n$ 的霍罗函数紧化之间的直接且几何的对应关系。
• 证明一个射影 тор的代数簇的非负部分及其作用映射的像在有理多面体范数下同胚于 $\r^n$ 的霍罗函数紧化。
• 证明该对应关系是规范的，并源于与单位球相关的扇形构造。
• 通过单位球的极多面体提供霍罗函数紧化的有界实现。
• 通过各种范数诱导的体积形式（布塞曼、霍尔姆斯-汤普森、格罗莫夫、本森）下的单位球体积，探索射影 тор的代数簇的数值不变量。

提出的方法

• 通过取包含原点在其内部的 $\r^n$ 中有理凸多面体 $P$ 的各面的锥，构造一个扇形 $Σ_P$。
• 将射影 тор的代数簇 $X_{Σ_P}$ 与扇形 $Σ_P$ 关联，其定义在 $P$ 的缩放下是良定义的。
• 在 $\r^n$ 上定义一个以 $P$ 为单位球的多面体范数 $|·|_P$，从而在 $\r^n$ 上诱导出一个度量 $d_P$。
• 利用 $\r^n$ 关于 $d_P$ 的霍罗函数紧化 $¯{\r^n}^{hor}$，并证明其同胚于非负部分 $X_{Σ_P,\geq 0}$ 以及作用映射的像。
• 利用 $P$ 的极多面体 $P^\circ$ 将霍罗函数紧化实现为 $P^\circ$，从而提供一个有界模型。
• 使用形如 $h_{E,\mathbf{x}_\infty}(\mathbf{z}) = |\mathbf{p} - \mathbf{y}|_E - |\mathbf{p}|_E$ 的霍罗函数，其中 $|\cdot|_E$ 是从 $E$ 导出的伪范数，$E$ 为 $P^\circ$ 的面。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在维度为 $n$ 的射影 тор的代数簇与配备有有理多面体范数的 $\r^n$ 的霍罗函数紧化之间的规范几何对应关系？
• RQ2 一个射影 тор的代数簇的非负部分及其作用映射的像是否可与在多面体范数下 $\r^n$ 的霍罗函数紧化相识别？
• RQ3 在有理多面体范数下 $\r^n$ 的霍罗函数紧化如何与单位球的极多面体相关联？
• RQ4 从范数诱导的体积形式下单位球的体积中，可以导出哪些射影 тор的代数簇的数值不变量？
• RQ5 是否存在 $P$ 内部的希尔伯特度量的霍罗函数紧化与极多面体 $P^\circ$ 相关的射影 тор的代数簇之间的联系？

主要发现

• 在缩放等价意义下，维度为 $n$ 的射影 тор的代数簇与 $\r^n$ 上的有理多面体范数之间存在规范的、几何的 1-1 对应关系。
• 射影 тор的代数簇 $X_{Σ}$ 的非负部分 $X_{Σ,\geq 0}$ 同胚于由对应有理多面体范数诱导的度量下 $\r^n$ 的霍罗函数紧化 $¯{\r^n}^{hor}$。
• 射影 тор的代数簇 $X_{Σ}$ 的作用映射的像在相同范数下也同胚于霍罗函数紧化 $¯{\r^n}^{hor}$。
• 在有理多面体范数 $|·|_P$ 下 $\r^n$ 的霍罗函数紧化同胚于单位球 $P$ 的极多面体 $P^\circ$。
• 对于每个射影 тор的代数簇 $X$，其关联的归一化单位球 $P$ 在任意四种标准体积（布塞曼、霍尔姆斯-汤普森、格罗莫夫、本森）下的体积均给出一个规范的数值不变量。
• 霍罗函数紧化被实现为函数列 $d_P(\mathbf{z}, \mathbf{x}_j) - d_P(0, \mathbf{x}_j)$ 的逐点极限，该列函数在紧子集上一致收敛于 $h_{E,\mathbf{x}_\infty}(\mathbf{z})$，其中 $E$ 是 $P$ 的面的对偶面。