[论文解读] Tornheim-like series, harmonic numbers and zeta values

Ilham A. Aliev, Ayhan Dil|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过积分表示和生成函数，对包含调和数与zeta值的Tornheim型双重及多重级数进行了显式求值。证明了级数 $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 在 $s \geq 1$ 时为有理数，在 $s = 0$ 时为无理数，并以zeta值形式给出了闭式解，同时求出了涉及 $\zeta(2)$ 和 $\zeta(3)$ 的相关级数。

ABSTRACT

Explicit evaluations of the Tornheim-like double series in the form \[ \sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm\left( n+m+s ight)},\ s\in \mathbb{N\cup } \left\{ 0 ight\} \] and their extensions are given. Furthermore, series of the type \[ \sum_{m=1}^\infty \frac{2H_{2m+1}-H_{m}}{2m\left( 2m+1 ight)} \] and some other Tornheim-like multiple series are evaluated in terms of the zeta values.

研究动机与目标

• 确定整数参数下包含调和数与zeta值的Tornheim型级数的有理性或无理性的目标。
• 以zeta函数形式推导形如 $\sum \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 的双重与多重级数的显式闭式求值。
• 通过引入广义调和数与平移参数，扩展已知的欧拉和与Tornheim级数结果。
• 求解分母中具有半整数平移的 $\zeta(2)$ 和 $\zeta(3)$ 特殊级数。

提出的方法

• 利用倒数与对数函数的积分表示，将双重级数转化为三重积分。
• 应用恒等式 $\sum_{k=1}^{n+m+s} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+n+m+s} \right)$，将调和数表示为级数形式。
• 使用积分公式 $\int_0^1 x^{k-1} dx = \frac{1}{k}$，将有理项转化为单位区间上的积分。
• 采用生成函数与级数展开，如 $\sum_{n=1}^\infty (xt)^{n-1} = \frac{1}{1-xt}$（当 $|xt| < 1$ 时）。
• 通过代换 $u = \frac{1+\sqrt{t}}{1-\sqrt{t}}$ 简化包含 $\ln^3(1-t)$ 的对数积分。
• 利用恒等式 $\int_0^1 t^{j} \ln^3 t \, dt = -\frac{6}{(j+1)^4}$ 将积分与zeta值关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $s \in \mathbb{N} \cup \{0\}$，Tornheim型级数 $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 是有理数还是无理数？
• RQ2 能否以黎曼zeta函数形式推导出此类级数的显式闭式求值？
• RQ3 分母中具有半整数平移的 $\zeta(2)$ 和 $\zeta(3)$ 级数的精确值是多少？
• RQ4 广义调和数与平移参数如何影响多重Tornheim型级数的求值？

主要发现

• 级数 $A(s) = \sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 在 $s \geq 1$ 时为有理数，在 $s = 0$ 时为无理数，且 $A(0) = 6\zeta(4) = \frac{\pi^4}{16}$。
• 对于 $s \geq 1$，有 $A(s) = 6 \sum_{j=0}^{s-1} (-1)^j \binom{s-1}{j} \frac{1}{(j+1)^4}$，该表达式为反四次幂的有理组合。
• 级数 $\sum_{m,n=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)(2n+1)(2m+2n+1)(2m+2n+2)} = 16\zeta(2) - 14\zeta(3)$。
• 级数 $\sum_{m,n=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)(2n+1)(2m+2n+3)} = \frac{1}{2}\zeta(2)$，通过对数积分恒等式导出。
• 三重级数 $\sum_{m,n=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)(2n+1)(2m+2n+1)(2m+2n+2)(2m+2n+3)} = 24\zeta(2) - 28\zeta(3)$。
• 该方法成功地通过将级数转化为包含 $\ln^3(1-t)$ 和 $\ln^2\left(\frac{1+t}{1-t}\right)$ 的积分，求解了多个具有半整数平移的Tornheim型级数。