[论文解读] Toroidal and projective commuting and non-commuting graphs

Mojgan Afkhami, Mohammad Farrokhi Derakhshandeh Ghouchan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文分类了所有其交换图与非交换图可嵌入环面或射影平面上的有限非交换群，扩展了平面性结果。证明了不存在环面或射影平面的非交换图，并利用亏格与交叉帽数理论，完全刻画了具有平面、环面或射影交换图的群结构。

ABSTRACT

In this paper, all finite groups whose commuting (non-commuting) graphs can be embed on the plane, torus or projective plane are classified.

研究动机与目标

• 分类所有其交换图是平面图、环图或射影图的有限非交换群。
• 确定哪些有限非交换群的非交换图可嵌入于环面或射影平面上。
• 将已知的非交换图平面性结果推广至更高亏格与交叉帽曲面。
• 使用图的亏格与交叉帽数理论，基于其交换图与非交换图的嵌入性质，刻画群的结构。

提出的方法

• 应用库拉托夫斯基定理与亏格/交叉帽数公式，以确定平面性与更高亏格的可嵌入性。
• 使用定理1.1与定理1.2，限制嵌入于交换图与非交换图中的完全图与完全二部图的亏格。
• 通过定理1.4的块分解，从子图分量计算亏格。
• 通过商群 $\overline{G} = G/Z(G)$ 分析群结构，重点关注元素阶与共轭类。
• 使用GAP计算代数系统验证在嵌入约束下的群阶与结构约束。
• 基于同构于 $K_{m,n}$ 或 $K_n$ 的诱导子图，运用反证法排除更高亏格或交叉帽嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限非交换群的交换图可嵌入于环面或射影平面上？
• RQ2 是否存在有限非交换群，其非交换图是环面或射影图？
• RQ3 当交换图或非交换图的亏格为1或交叉帽数为1时，会产生哪些群论约束？
• RQ4 群的谱 $\omega(G)$ 与指数 $\exp(G)$ 如何与交换图与非交换图的亏格及交叉帽数相关联？
• RQ5 能否将非交换图平面性的分类推广至环面与射影嵌入？

主要发现

• 不存在环面的非交换图；所有此类图均为平面图，且仅有 $S_3$、$D_8$ 与 $Q_8$ 具有平面非交换图。
• 不存在射影平面的非交换图，因为同构于 $K_{3,6}$ 或 $K_{8,8}$ 的诱导子图违反了交叉帽约束。
• 有限非交换群的交换图为平面图，当且仅当 $|G|$ 整除 $2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$，且满足 $|Z(G)| \leq 4$ 与 $\omega(\overline{G}) \subseteq \{1,2,3,4\}$。
• 为使交换图为环图，群必须满足 $|G| \mid 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ 与 $\omega(\overline{G}) \subseteq \{1,2,3,4\}$，并附加关于元素阶与中心大小的约束。
• 交换图为射影图，当且仅当 $|G|$ 整除 $2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ 且 $\omega(\overline{G}) \subseteq \{1,2,3\}$，同时满足 $|Z(G)| \leq 3$。
• 仅有 $S_3$、$D_8$ 与 $Q_8$ 具有平面非交换图，且不存在此类群，其非平面非交换图的亏格为1或交叉帽数为1。